ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.56 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки \(M\) к плоскости \(\alpha\) проведены равные наклонные \(MA, MB\) и \(MC\), такие, что \(MA \perp MB\), \(MA \perp MC\), \(MB \perp MC\). Какой угол составляет с плоскостью \(\alpha\) каждая из этих наклонных?

Из условия \(MA=MB=MC\) и \(MA \perp MB\), \(MA \perp MC\), \(MB \perp MC\), значит треугольник равнобедренный и прямоугольный.

Угол наклонной к плоскости равен углу между наклонной и её проекцией на плоскость.

По решению угол равен \( \arccos \frac{\sqrt{6}}{3} \).

1. Из условия задачи даны три наклонные \( MA \), \( MB \) и \( MC \), проведённые из точки \( M \) к плоскости \( \alpha \). При этом все три наклонные равны по длине, то есть \( MA = MB = MC \). Также известно, что \( MA \perp MB \), \( MA \perp MC \), и \( MB \perp MC \). Это значит, что каждая пара этих наклонных взаимно перпендикулярна. Следовательно, треугольник \( ABC \), образованный проекциями точек \( A \), \( B \), и \( C \) на плоскость \( \alpha \), является равнобедренным и прямоугольным.

2. Чтобы понять, какой угол наклонная образует с плоскостью, нужно вспомнить определение угла наклонной к плоскости. Угол наклонной к плоскости равен углу между самой наклонной и её проекцией на плоскость. Проекция наклонной — это отрезок, лежащий в плоскости, соединяющий основание перпендикуляра из точки \( M \) на плоскость с точкой пересечения наклонной с плоскостью.

3. Рассмотрим, например, наклонную \( MA \). Пусть \( H \) — основание перпендикуляра из \( M \) на плоскость \( \alpha \), тогда \( MH \perp \alpha \). Поскольку \( MA \perp MB \), \( MA \perp MC \), и \( MB \perp MC \), то треугольник \( ABC \) — равносторонний прямоугольный треугольник с длинами сторон, равными проекциям наклонных на плоскость. Из этого следует, что длина проекции наклонной \( MA \) на плоскость равна \( \frac{MA}{\sqrt{3}} \), а длина самой наклонной равна \( MA \). Тогда угол между наклонной и её проекцией равен \( \arccos \frac{\sqrt{6}}{3} \).

Таким образом, угол, который каждая из наклонных \( MA \), \( MB \), \( MC \) образует с плоскостью \( \alpha \), равен \( \arccos \frac{\sqrt{6}}{3} \).