ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.57 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(A\) лежит внутри двугранного угла, величина которого равна \(\alpha\). Расстояние от точки \(A\) до каждой грани этого угла равно \(h\). Найдите расстояние от точки \(A\) до ребра двугранного угла.

Точка \(A\) равноудалена от граней двугранного угла с величиной \(\alpha\), расстояние до граней равно \(h\).

Расстояние от точки \(A\) до ребра двугранного угла обозначим \(d\).

В треугольнике с углом \(\frac{\alpha}{2}\) и противолежащей стороной \(h\) по определению синуса: \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{h}{d}\).

Отсюда \(d = \frac{h}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).

1. Рассмотрим двугранный угол с величиной \(\alpha\) и точку \(A\), расположенную внутри угла.

2. По условию расстояние от точки \(A\) до каждой из граней равно \(h\).

3. Проведём перпендикуляры от точки \(A\) на обе грани, образуя равные отрезки длиной \(h\).

4. Эти перпендикуляры образуют угол \(\alpha\) между собой, следовательно, угол между каждым перпендикуляром и ребром равен \(\frac{\alpha}{2}\).

5. Обозначим расстояние от точки \(A\) до ребра двугранного угла через \(d\).

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это расстояние \(d\), а противолежащий катет — \(h\).

7. По определению синуса угла \(\frac{\alpha}{2}\) имеем: \(\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{h}{d}\).

8. Отсюда выразим \(d\): \(d = \frac{h}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).

9. Таким образом, расстояние от точки \(A\) до ребра двугранного угла равно \(\frac{h}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).

10. Ответ совпадает с условием задачи и формулируется как \(d = \frac{h}{\sin \frac{\alpha}{2}}\).