ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.58 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(\alpha \cap \beta = m\), \(A \in \alpha\), \(B \in \beta\), \(AC \perp m\), \(BC \perp m\), \(AC = 2\) см, \(BC = 1\) см, \(AB = \sqrt{5}\) см. Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\).

Дано \(AC = 2\), \(BC = 1\), \(AB = \sqrt{5}\).
По теореме Пифагора \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), значит треугольник \(ABC\) прямоугольный с углом \(C = 90^\circ\).
Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к линии пересечения, то есть \(\angle(\alpha, \beta) = \angle ACB = 90^\circ\).
Ответ: \(90^\circ\).

1. Даны две плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), пересекающиеся по прямой \(m\). Точки \(A \in \alpha\), \(B \in \beta\), а точка \(C \in m\).

2. Из условия известно, что \(AC \perp m\) и \(BC \perp m\). Значит отрезки \(AC\) и \(BC\) перпендикулярны линии пересечения плоскостей.

3. Длины отрезков: \(AC = 2\), \(BC = 1\), \(AB = \sqrt{5}\).

4. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).

5. Подставляем значения: \(AB^2 = (\sqrt{5})^2 = 5\), \(AC^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5\).

6. Так как равенство выполняется, треугольник \(ABC\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(C\).

7. Угол между плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) равен углу между их нормалями, который совпадает с углом между перпендикулярами к линии пересечения в точке \(C\).

8. Следовательно, угол между плоскостями равен \(\angle ACB\), который равен \(90^\circ\).

9. Итог: \(\angle(\alpha, \beta) = 90^\circ\).

10. Ответ: \(90^\circ\).