ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.59 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через центр \(O\) окружности проведён отрезок \(AO\), перпендикулярный плоскости окружности (рис. 20.15). Прямая \(BC\), лежащая в плоскости окружности, касается данной окружности в точке \(C\). Найдите угол между плоскостями \(ACB\) и \(BOC\), если \(OA = 8\) см, а радиус данной окружности — 2 см.

Плоскость \(BOC\) — плоскость окружности, плоскость \(ACB\) содержит перпендикуляр \(AO\).

Угол между плоскостями равен углу между \(AO\) и касательной \(BC\), который равен углу \(\angle ADO\).

Так как \(OA = 8\), \(OC = 2\), то \(\angle ADO = \arctan \frac{8}{2} = \arctan 4\).

Ответ: \(\angle ADO = \arctan 4\).

1. Дано: центр окружности \(O\), отрезок \(AO\), перпендикулярный плоскости окружности, прямая \(BC\), касающаяся окружность в точке \(C\), \(OA = 8\) см, радиус окружности \(OC = 2\) см.

2. Плоскость \(BOC\) — это плоскость окружности, так как содержит центр \(O\) и точку касания \(C\).

3. Плоскость \(ACB\) содержит точку \(A\), лежащую на перпендикуляре \(AO\) к плоскости окружности, и точки \(B\) и \(C\).

4. Угол между плоскостями \(ACB\) и \(BOC\) равен углу между линией \(AO\) и касательной \(BC\), так как \(AO\) перпендикулярен плоскости окружности.

5. Рассмотрим проекцию точки \(A\) на плоскость окружности, обозначим её \(D\). Тогда \(AD\) перпендикулярна плоскости окружности.

6. Треугольник \(ADO\) прямоугольный, где \(AO = 8\) см — высота, \(OC = 2\) см — радиус, а \(DC = 2\) см, так как касательная \(BC\) перпендикулярна радиусу \(OC\).

7. Угол между плоскостями равен углу \(\angle ADO\) в треугольнике \(ADO\).

8. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике: \(\tan \angle ADO = \frac{AO}{DC} = \frac{8}{2} = 4\).

9. Следовательно, \(\angle ADO = \arctan \frac{8}{2} = \arctan 4\).

10. Ответ: \(\angle ADO = \arctan 4\).