ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.60 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через центр \(O\) окружности проведён отрезок \(AO\), перпендикулярный плоскости окружности (рис. 20.15). Прямая \(BC\), лежащая в плоскости окружности, касается данной окружности в точке \(C\). Найдите угол между плоскостями \(ACB\) и \(BOC\), если \(OA = 8\) см, а радиус данной окружности — 2 см.

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) и \(AC = 8\), \(\angle BAC = 30^\circ\), находим \(AB = \frac{8}{\cos 30^\circ} = \frac{16 \sqrt{3}}{3}\).

Расстояние от точки \(M\) до \(AB\) равно 12, угол между плоскостями равен углу между \(MC\) и плоскостью \(ABM\).

Угол между плоскостями: \(\angle MDC = \arccos \frac{4}{12} = \arccos \frac{1}{3}\).

Ответ: \(\arccos \frac{1}{3}\).

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при \(C\) и известным катетом \(AC = 8\) см, а углом при вершине \(A\) равным \(30^\circ\), найдём гипотенузу \(AB\). По определению косинуса угла: \( \cos 30^\circ = \frac{AC}{AB} \), откуда \( AB = \frac{AC}{\cos 30^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \) см.

2. Введём точку \(D\) — проекцию точки \(M\) на прямую \(AB\). По условию расстояние от \(M\) до \(AB\) равно 12 см, значит \(MD = 12\).

3. Поскольку отрезок \(MC\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\), он образует с плоскостью \(ABC\) угол в \(90^\circ\).

4. Плоскость \(ABM\) содержит прямую \(AB\) и точку \(M\), расположенную вне плоскости \(ABC\).

5. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABM\) равен углу между отрезком \(MC\) и плоскостью \(ABM\).

6. Для нахождения этого угла рассмотрим проекцию \(MC\) на плоскость \(ABM\). Проекция точки \(C\) на \(AB\) совпадает с \(C\), а точка \(M\) лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\).

7. Рассмотрим треугольник \(MDC\), где \(D\) — проекция \(M\) на \(AB\), \(C\) — вершина прямого угла, \(MD = 12\), \(CD\) — часть \(AB\).

8. Найдём длину \(CD\). Точка \(D\) — проекция \(M\) на \(AB\), а \(C\) — вершина прямого угла, значит \(CD\) — длина от \(C\) до \(AB\). В треугольнике \(ABC\) \(AC = 8\) см, \(\angle BAC = 30^\circ\).

9. Длина \(CD\) равна \(AC \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.

10. Угол между плоскостями равен углу \( \angle MDC \), который находится по формуле: \( \cos \angle MDC = \frac{CD}{MD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). Следовательно, угол между плоскостями равен \( \arccos \frac{1}{3} \).