ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.61 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\). Угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 7\) см, \(AB = 10\) см, \(BC = 13\) см.

1. Найдём полупериметр треугольника \(ABC\): \(p = \frac{AC + AB + BC}{2} = \frac{7 + 10 + 13}{2} = 15\).

2. Вычислим площадь треугольника по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p — AC)(p — AB)(p — BC)} = \sqrt{15 \times 8 \times 5 \times 2} = \sqrt{1200} = 20 \sqrt{3}\).

3. Найдём высоту \(CH\) из точки \(C\) на сторону \(AB\) по формуле площади: \(S = \frac{1}{2} \times AB \times CH\), откуда \(CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \times 20 \sqrt{3}}{10} = 4 \sqrt{3}\).

4. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(60^\circ\). Расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\) равно проекции высоты \(CH\) на направление перпендикуляра к плоскости \(\alpha\), то есть \(CK = CH \times \sin 60^\circ\).

5. Подставим значения: \(CK = 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6\).

Ответ: 6 см.

Для начала необходимо определить полупериметр треугольника \(ABC\), так как это ключевой шаг для вычисления площади по формуле Герона. Полупериметр обозначается как \(p\) и вычисляется по формуле \(p = \frac{AC + AB + BC}{2}\). Подставляя данные длины сторон, получаем \(p = \frac{7 + 10 + 13}{2} = 15\). Этот параметр позволяет упростить выражение для площади треугольника, используя все три стороны.

Далее вычисляем площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p — AC)(p — AB)(p — BC)}\). Подставляя значения, получаем \(S = \sqrt{15 \times (15 — 7) \times (15 — 10) \times (15 — 13)} = \sqrt{15 \times 8 \times 5 \times 2} = \sqrt{1200}\). Корень из 1200 можно упростить, выделив полный квадрат: \(1200 = 400 \times 3\), тогда \(S = \sqrt{400 \times 3} = 20 \sqrt{3}\). Таким образом, площадь треугольника равна \(20 \sqrt{3}\) квадратных сантиметров.

Для нахождения расстояния от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), проведённой через сторону \(AB\), сначала найдём высоту \(CH\) треугольника, опущенную из вершины \(C\) на сторону \(AB\). Из формулы площади треугольника \(S = \frac{1}{2} \times AB \times CH\) выразим высоту: \(CH = \frac{2S}{AB}\). Подставляя известные значения, получаем \(CH = \frac{2 \times 20 \sqrt{3}}{10} = 4 \sqrt{3}\). Эта высота является перпендикуляром от точки \(C\) к стороне \(AB\) и лежит в плоскости треугольника \(ABC\).

Угол между плоскостью треугольника \(ABC\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(60^\circ\). Расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\) — это длина перпендикуляра, опущенного из \(C\) на плоскость \(\alpha\). Поскольку плоскость \(\alpha\) проходит через сторону \(AB\), расстояние от \(C\) до \(\alpha\) можно найти, взяв проекцию высоты \(CH\) на направление, перпендикулярное плоскости \(\alpha\). Эта проекция равна \(CK = CH \times \sin 60^\circ\). Подставляя значения, получаем \(CK = 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6\).

Ответ: 6 см.