ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.62 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через сторону \(AB\) треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\). Угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 7\) см, \(AB = 10\) см, \(BC = 13\) см.

Площадь квадрата \(S = 16\), значит сторона \(CD = \sqrt{16} = 4\) см.

Площадь прямоугольника \(S = 32\), одна сторона \(CD = 4\), значит другая сторона \(DF = \frac{32}{4} = 8\) см.

Расстояние между параллельными сторонами равно длине \(EF\), которую найдём по закону косинусов в треугольнике \(CDF\):

\(EF^2 = CD^2 + DF^2 — 2 \cdot CD \cdot DF \cdot \cos 60^\circ = 4^2 + 8^2 — 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=\)
\( = 16 + 64 — 32 = 48\).

Отсюда \(EF = \sqrt{48} = 4 \cdot \sqrt{3}\) см.

1. Площадь квадрата \(ABCD\) равна 16 см\(^2\). Значит, сторона квадрата \(a\) найдётся из уравнения \(a^2 = 16\), откуда \(a = 4\) см. Следовательно, сторона \(CD = 4\) см.

2. Площадь прямоугольника \(AEFD\) равна 32 см\(^2\). Одна из его сторон совпадает со стороной квадрата \(CD = 4\) см. Тогда вторая сторона \(DF\) найдётся из уравнения \(4 \times DF = 32\), откуда \(DF = 8\) см.

3. Угол между плоскостями квадрата и прямоугольника равен \(60^\circ\). Рассмотрим треугольник \(CDF\), где угол при вершине \(D\) равен \(60^\circ\), а стороны \(CD = 4\) см и \(DF = 8\) см.

4. Найдём длину стороны \(EF\), которая является расстоянием между параллельными сторонами квадрата и прямоугольника, используя закон косинусов:

\(EF^2 = CD^2 + DF^2 — 2 \cdot CD \cdot DF \cdot \cos 60^\circ\).

5. Подставим значения:

\(EF^2 = 4^2 + 8^2 — 2 \times 4 \times 8 \times \frac{1}{2} = 16 + 64 — 32 = 48\).

6. Следовательно, длина \(EF = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}\) см.

7. Таким образом, расстояние между прямыми, содержащими параллельные стороны квадрата и прямоугольника, равно \(4 \sqrt{3}\) см.