ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.64 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Грани двугранного угла лежат в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) (рис. 20.17). Прямая \(m\) пересекает грань, лежащую в плоскости \(\alpha\), в точке \(A\), а другую грань — в точке \(B\). Прямая \(n\) параллельна прямой \(m\) и пересекает грань, лежащую в плоскости \(\alpha\), в точке \(C\). Постройте точку пересечения прямой \(n\) с другой гранью данного двугранного угла.

Прямая \(m\) пересекает грани \(\alpha\) и \(\beta\) в точках \(A\) и \(B\).

Прямая \(n\) параллельна \(m\) и пересекает грань \(\alpha\) в точке \(C\).

Проведём прямую через \(C\), параллельную \(m\). Эта прямая пересечёт грань \(\beta\) в точке \(D\).

Точка \(D\) — искомая точка пересечения прямой \(n\) с гранью \(\beta\).

1. Дана двугранный угол с гранями в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\). Прямая \(m\) пересекает грань \(\alpha\) в точке \(A\) и грань \(\beta\) в точке \(B\).

2. Прямая \(n\) параллельна прямой \(m\) и пересекает грань \(\alpha\) в точке \(C\). По условию \(n \parallel m\), значит направления этих прямых совпадают.

3. Поскольку прямая \(m\) пересекает обе грани, она лежит в плоскости, образованной двугранным углом. Прямая \(n\), будучи параллельной \(m\), также лежит в плоскости, параллельной той, в которой находится \(m\).

4. Для нахождения точки пересечения прямой \(n\) с гранью \(\beta\) необходимо провести через точку \(C\) прямую, параллельную \(m\).

5. Обозначим эту прямую как \(n\). Она проходит через \(C\) и параллельна \(m\), следовательно, она пересечёт грань \(\beta\) в некоторой точке \(D\).

6. Точка \(D\) является искомой точкой пересечения прямой \(n\) с гранью \(\beta\).

7. Таким образом, построение сводится к проведению через \(C\) прямой, параллельной \(m\), и определению её пересечения с гранью \(\beta\).

8. Если обозначить вектор направления прямой \(m\) как \(\vec{v}\), то прямая \(n\) задаётся уравнением \( \vec{r} = \vec{C} + t \vec{v} \), где \(t \in \mathbb{R}\).

9. Найдя параметр \(t\), при котором точка \( \vec{r} \) принадлежит плоскости \(\beta\), получаем координаты точки \(D\).

10. Итог: точка \(D\) — это точка пересечения прямой \(n\) с гранью \(\beta\), построенная как пересечение плоскости \(\beta\) с прямой, проходящей через \(C\) и параллельной \(m\).