ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.66 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Прямая \(c\) — линия пересечения перпендикулярных плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). В плоскости \(\alpha\) провели прямую \(a\), а в плоскости \(\beta\) — прямую \(b\) так, что \(a \parallel c\), \(b \perp c\). Расстояние между прямыми \(a\) и \(c\) на 1 см меньше расстояния между прямыми \(a\) и \(b\), а расстояние между прямыми \(b\) и \(c\) на 32 см меньше расстояния между прямыми \(a\) и \(b\). Найдите расстояние между прямыми \(a\) и \(b\).

Пусть расстояние между \(a\) и \(b\) равно \(x\). Тогда расстояние между \(a\) и \(c\) равно \(x-1\), а между \(b\) и \(c\) — \(x-32\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами \(x-1\) и \(x-32\) и гипотенузой \(x\) имеем уравнение \(x^2 = (x-1)^2 + (x-32)^2\).

Раскроем скобки и упростим: \(x^2 = x^2 — 2x + 1 + x^2 — 64x + 1024\), откуда \(x^2 — 66x + 1025 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 66^2 — 4 \cdot 1025 = 4356 — 4100 = 256\).

Найдем корни: \(x_1 = \frac{66 — 16}{2} = 25\), \(x_2 = \frac{66 + 16}{2} = 41\).

Отрицательный корень \(x=25\) не подходит, так как расстояние не может быть отрицательным.

Ответ: расстояние между \(a\) и \(b\) равно \(41\) см.

1. Пусть расстояние между прямыми \(a\) и \(b\) равно \(x\).

2. Тогда расстояние между \(a\) и \(c\) равно \(x — 1\), так как оно на 1 см меньше, чем между \(a\) и \(b\).

3. Расстояние между \(b\) и \(c\) равно \(x — 32\), так как оно на 32 см меньше, чем между \(a\) и \(b\).

4. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, а \(c\) — их линия пересечения, расстояния между прямыми образуют прямоугольный треугольник с катетами \(x — 1\) и \(x — 32\), и гипотенузой \(x\).

5. По теореме Пифагора составим уравнение: \(x^2 = (x — 1)^2 + (x — 32)^2\).

6. Раскроем скобки: \(x^2 = x^2 — 2x + 1 + x^2 — 64x + 1024\).

7. Упростим уравнение: \(x^2 = 2x^2 — 66x + 1025\).

8. Перенесём все члены в левую часть: \(x^2 — 2x^2 + 66x — 1025 = 0\), что даёт \(-x^2 + 66x — 1025 = 0\).

9. Умножим на \(-1\): \(x^2 — 66x + 1025 = 0\).

10. Найдём дискриминант: \(D = 66^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1025 = 4356 — 4100 = 256\).

11. Найдём корни уравнения: \(x = \frac{66 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{66 \pm 16}{2}\).

12. Корни: \(x_1 = \frac{66 — 16}{2} = 25\), \(x_2 = \frac{66 + 16}{2} = 41\).

13. Проверяем корни: при \(x = 25\) расстояние \(x — 32 = -7\) отрицательно, что невозможно.

14. Следовательно, правильное расстояние между \(a\) и \(b\) равно \(41\) см.