ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.67 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(\alpha \perp \beta\), \(\alpha \perp \gamma\), \(\beta \perp \gamma\), \(\alpha \cap \beta = c\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(\beta \cap \gamma = a\). Докажите, что \(a \perp c\), \(b \perp c\), \(a \perp b\).

Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( \alpha \perp \gamma \), \( \beta \perp \gamma \), \( \alpha \cap \beta = c \), \( \alpha \cap \gamma = b \), \( \beta \cap \gamma = a \).

Так как \( b \subset \alpha \) и \( c \subset \beta \), а \( \alpha \perp \beta \), то \( b \perp c \).

Так как \( b \subset \alpha \) и \( a \subset \gamma \), а \( \alpha \perp \gamma \), то \( b \perp a \).

Так как \( c \subset \beta \) и \( a \subset \gamma \), а \( \beta \perp \gamma \), то \( c \perp a \).

Следовательно, \( a \perp c \), \( b \perp c \), \( a \perp b \).

1. Рассмотрим первую пару плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \), которые по условию взаимно перпендикулярны, то есть \( \alpha \perp \beta \). В этом случае любая прямая, лежащая в плоскости \( \alpha \), будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \( \beta \), если эти прямые не параллельны. Из условия известно, что \( c = \alpha \cap \beta \) — прямая пересечения этих плоскостей. Также известно, что \( b = \alpha \cap \gamma \) — прямая пересечения плоскостей \( \alpha \) и \( \gamma \), причем \( b \subset \alpha \). Поскольку \( b \) лежит в \( \alpha \), а \( c \) лежит в \( \beta \), и \( \alpha \perp \beta \), то по определению перпендикулярности плоскостей прямая \( b \) перпендикулярна прямой \( c \), то есть \( b \perp c \).

2. Аналогично рассмотрим плоскости \( \alpha \) и \( \gamma \), которые также перпендикулярны, то есть \( \alpha \perp \gamma \). Прямая \( b = \alpha \cap \gamma \) лежит в обеих плоскостях, а прямая \( a = \beta \cap \gamma \) лежит в плоскости \( \gamma \). Поскольку \( b \subset \alpha \) и \( a \subset \gamma \), а \( \alpha \perp \gamma \), то любая прямая из \( \alpha \), в частности \( b \), будет перпендикулярна любой прямой из \( \gamma \), в частности \( a \), если они не параллельны. Следовательно, \( b \perp a \).

3. Рассмотрим теперь плоскости \( \beta \) и \( \gamma \), которые по условию также перпендикулярны, то есть \( \beta \perp \gamma \). Прямая \( c = \alpha \cap \beta \) лежит в плоскости \( \beta \), а прямая \( a = \beta \cap \gamma \) лежит в обеих плоскостях \( \beta \) и \( \gamma \). Поскольку \( c \subset \beta \) и \( a \subset \gamma \), а \( \beta \perp \gamma \), то по определению перпендикулярности плоскостей любая прямая из \( \beta \), в частности \( c \), перпендикулярна любой прямой из \( \gamma \), в частности \( a \). Следовательно, \( c \perp a \).

Таким образом, мы получили, что все три прямые \( a \), \( b \), \( c \), являющиеся пересечениями пар плоскостей, попарно перпендикулярны: \( a \perp b \), \( b \perp c \), \( a \perp c \). Это полностью соответствует свойствам перпендикулярных плоскостей и их линий пересечения.