ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.68 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если каждая из двух плоскостей перпендикулярна третьей плоскости и линии пересечения данных плоскостей с третьей плоскостью параллельны, то эти плоскости параллельны.

Дано: \(\alpha \perp \gamma\), \(\beta \perp \gamma\), линии пересечения \(\alpha \cap \gamma = a\), \(\beta \cap \gamma = b\), и \(a \parallel b\).

Поскольку \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны плоскости \(\gamma\), они содержат соответственно линии, перпендикулярные \(\gamma\).

Линии \(a\) и \(b\), как следы плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) на \(\gamma\), параллельны.

Отсюда следует, что плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), перпендикулярные одной и той же плоскости \(\gamma\) и имеющие параллельные линии пересечения с \(\gamma\), параллельны друг другу.

1. Пусть даны плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) такие, что \(\alpha \perp \gamma\) и \(\beta \perp \gamma\).

2. По условию, линии пересечения плоскостей \(\alpha \cap \gamma = a\) и \(\beta \cap \gamma = b\) существуют и при этом \(a \parallel b\).

3. Поскольку \(\alpha \perp \gamma\), то плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(\gamma\), следовательно, любая линия в \(\alpha\), перпендикулярная \(a\), перпендикулярна и \(\gamma\).

4. Аналогично, поскольку \(\beta \perp \gamma\), любая линия в \(\beta\), перпендикулярная \(b\), перпендикулярна \(\gamma\).

5. Линии \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\gamma\) и параллельны друг другу, то есть \(a \parallel b\).

6. Рассмотрим в плоскости \(\alpha\) произвольную линию \(l_\alpha\), перпендикулярную \(a\). Тогда \(l_\alpha \perp \gamma\).

7. Аналогично, в плоскости \(\beta\) существует линия \(l_\beta\), перпендикулярная \(b\), и она тоже перпендикулярна \(\gamma\).

8. Поскольку \(a \parallel b\), линии \(l_\alpha\) и \(l_\beta\), перпендикулярные \(a\) и \(b\) соответственно, также параллельны друг другу.

9. Таким образом, в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) существуют две пары параллельных линий: \(a \parallel b\) и \(l_\alpha \parallel l_\beta\).

10. Следовательно, плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), содержащие по две пары параллельных линий, параллельны между собой, то есть \(\alpha \parallel \beta\).