ГДЗ Мерзляк 10 Класс по Геометрии Базовый Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Базовый Уровень

10 класс Базовый Уровень Учебник Мерзляк

10 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2017-2022

Издательство

Просвещение

Описание

Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.

ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.69 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Через вершину прямого угла \(C\) треугольника \(ABC\) проведена прямая \(m\), перпендикулярная плоскости \(ABC\). На прямой \(m\) отметили точку \(D\), такую, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(30^\circ\). Найдите площадь треугольника \(ABD\), если \(AB = 16\) см, \(\angle BAC = 45^\circ\)

Краткий ответ:

В треугольнике \(ABC\) с прямым углом в \(C\) и \(AB=16\) см, угол \(BAC=45^\circ\), значит \(AC=BC=x\).

По теореме Пифагора: \(x^2 + x^2 = 16^2\), откуда \(2x^2=256\), \(x^2=128\), \(x=8\sqrt{2}\).

Высота \(CH\) на \(AB\) равна \( \frac{1}{2} AB = 8\) см.

Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(30^\circ\), значит в треугольнике \(CKD\) \(\cos 30^\circ = \frac{CK}{KD}\).

Так как \(CK=8\), то \(KD = \frac{8}{\cos 30^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\).

Площадь треугольника \(ABD\) равна \( \frac{1}{2} AB \cdot KD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} = \frac{128\sqrt{3}}{3}\) см².

Подробный ответ:

1. В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) прямой, \(AB=16\) см, угол \(BAC=45^\circ\). Обозначим \(AC=BC=x\).

2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), то есть \(x^2 + x^2 = 16^2\).

3. Это даёт уравнение \(2x^2 = 256\), откуда \(x^2 = 128\), значит \(x = 8\sqrt{2}\) см.

4. Высота \(CH\), опущенная из вершины \(C\) на сторону \(AB\), равна половине \(AB\), так как треугольник равнобедренный с углом \(45^\circ\) при \(A\). Значит, \(CH = \frac{1}{2} \times 16 = 8\) см.

5. Прямая \(m\), проходящая через \(C\), перпендикулярна плоскости \(ABC\). Точка \(D\) лежит на этой прямой.

6. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(30^\circ\). Этот угол равен углу между высотой \(CH\) и отрезком \(KD\), где \(K\) — проекция \(C\) на \(AB\).

7. В треугольнике \(CKD\) по определению косинуса угла: \(\cos 30^\circ = \frac{CK}{KD}\).

8. Из рисунка \(CK = CH = 8\) см. Следовательно, \(KD = \frac{CK}{\cos 30^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\) см.

9. Площадь треугольника \(ABD\) вычисляется по формуле: \(S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times KD = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{16\sqrt{3}}{3}\).

10. Итоговый результат: \(S_{ABD} = \frac{128\sqrt{3}}{3}\) см².

Оцени решение