ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.70 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Проекцией трапеции, площадь которой равна \(40\sqrt{2}\) см\(^2\), является равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 13 см и боковой стороной 5 см. Найдите угол между плоскостями данных трапеций.

Найдём высоту проекции \(CH = \frac{13 — 7}{2} = 3\) см.

Вычислим боковую сторону проекции \(CD = \sqrt{5^2 — 3^2} = 4\) см.

Площадь проекции равна \(S = \frac{7 + 13}{2} \times 4 = 40\) см².

Косинус угла между плоскостями равен отношению площадей \(\cos \theta = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Угол между плоскостями \(\theta = 45^\circ\).

1. Для начала определим высоту проекции трапеции \(CH\). Проекция равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 13 см, поэтому высота проекции равна половине разности оснований: \(CH = \frac{13 — 7}{2} = 3\) см. Это значение показывает, насколько верхнее основание смещено относительно нижнего в проекции, что важно для дальнейших вычислений.

2. Рассмотрим треугольник \(CDH\), где \(HD\) — боковая сторона исходной трапеции длиной 5 см, а \(CH\) — высота проекции, равная 3 см. Поскольку \(CDH\) — прямоугольный треугольник, применяем теорему Пифагора для нахождения длины \(CD\), которая является высотой исходной трапеции: \(CD = \sqrt{5^2 — 3^2} = \sqrt{25 — 9} = 4\) см. Этот шаг позволяет связать боковую сторону и высоту исходной фигуры через проекцию.

3. Теперь вычислим площадь проекции трапеции. Используем формулу площади трапеции \(S = \frac{a + b}{2} \times h\), где основания \(a = 7\) см и \(b = 13\) см, а высота проекции равна \(CD = 4\) см. Подставляем значения: \(S_{\text{проекции}} = \frac{7 + 13}{2} \times 4 = 10 \times 4 = 40\) см². Эта площадь меньше площади исходной трапеции, так как проекция — это «сжатое» изображение фигуры на плоскости.

4. Из условия задачи известно, что площадь исходной трапеции равна \(40\sqrt{2}\) см². Для нахождения угла между плоскостями исходной трапеции и её проекции используем соотношение между площадями. Косинус угла равен отношению площади проекции к площади исходной фигуры: \(\cos \theta = \frac{40}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Это отражает, насколько наклонена исходная плоскость относительно плоскости проекции.

5. Наконец, вычисляем сам угол между плоскостями по формуле: \(\theta = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = 45^\circ\). Таким образом, угол между плоскостями исходной трапеции и её проекции равен 45 градусам, что соответствует классическому значению для угла с косинусом \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).