ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.71 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 25 см, а диагональ боковой грани — 20 см. Найдите высоту призмы.

Диагональ призмы \(B_1D\) равна 25 см, диагональ боковой грани \(C_1D\) равна 20 см. Обозначим высоту призмы \(y\), а сторону основания \(x\).

По теореме Пифагора для диагонали призмы: \(2x^2 + y^2 = 625\).

Для диагонали боковой грани: \(x^2 + y^2 = 400\).

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: \(x^2 = 225\), значит \(x = 15\).

Подставляем \(x^2\) во второе уравнение: \(225 + y^2 = 400\), откуда \(y^2 = 175\), значит \(y = 5 \cdot \sqrt{7}\).

Ответ: высота призмы равна \(5 \cdot \sqrt{7}\) см.

1. Дано: диагональ призмы \(B_1D = 25\) см, диагональ боковой грани \(C_1D = 20\) см. Обозначим высоту призмы через \(y\), сторону основания через \(x\).

2. Рассмотрим диагональ призмы \(B_1D\). Она является пространственной диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами \(x\), \(x\) и \(y\). По теореме Пифагора:

\(B_1D^2 = x^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + y^2\).

Подставляем значение:

\(25^2 = 2x^2 + y^2\), значит

\(625 = 2x^2 + y^2\).

3. Рассмотрим диагональ боковой грани \(C_1D\). Это диагональ прямоугольника со сторонами \(x\) и \(y\), значит:

\(C_1D^2 = x^2 + y^2\).

Подставляем значение:

\(20^2 = x^2 + y^2\), значит

\(400 = x^2 + y^2\).

4. Составляем систему уравнений:

\(2x^2 + y^2 = 625\),

\(x^2 + y^2 = 400\).

5. Вычтем второе уравнение из первого:

\((2x^2 + y^2) — (x^2 + y^2) = 625 — 400\),

\(x^2 = 225\).

6. Найдём \(x\):

\(x = \sqrt{225} = 15\).

7. Подставим \(x^2 = 225\) во второе уравнение:

\(225 + y^2 = 400\),

откуда

\(y^2 = 175\).

8. Найдём \(y\):

\(y = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5 \cdot \sqrt{7}\).

9. Таким образом, высота призмы равна \(5 \cdot \sqrt{7}\) см.