ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.73 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сечением наклонной четырёхугольной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность, а основания этой трапеции равны 5 см и 7 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Сумма боковых сторон равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, равна сумме оснований: \( UV + QP = 5 + 7 = 12 \) см.

Периметр трапеции равен \( P = 2 \times 12 = 24 \) см.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра трапеции на высоту (боковое ребро): \( S = P \times h = 24 \times 8 = 192 \) см².

Ответ: 192 см².

Равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность, обладает важным свойством: сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон. В данной задаче основания трапеции равны 5 см и 7 см, следовательно, сумма боковых сторон равна \( UV + QP = 5 + 7 = 12 \) см. Это свойство обусловлено тем, что для трапеции с вписанной окружностью существует равенство: сумма противоположных сторон равна, что позволяет нам определить длины боковых сторон, не зная их по отдельности.

Периметр трапеции — это сумма всех её сторон. Поскольку у нас равнобокая трапеция, боковые стороны равны, и их сумма 12 см означает, что каждая боковая сторона равна 6 см. Тогда периметр вычисляется как \( P = 5 + 7 + 6 + 6 = 24 \) см. Периметр играет ключевую роль в вычислении площади боковой поверхности призмы, так как боковая поверхность призмы — это сумма площадей боковых граней, каждая из которых является прямоугольником с одной стороной, равной высоте призмы.

Высота призмы, или боковое ребро, равно 8 см. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, что можно записать формулой \( S = P \times h = 24 \times 8 = 192 \) см². Это связано с тем, что боковая поверхность призмы разворачивается в прямоугольник, одна сторона которого равна периметру основания, а другая — высоте призмы. Таким образом, площадь боковой поверхности равна произведению этих двух величин.