ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.76 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна \(a\), наибольшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности призмы.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) по определению синуса получаем \(AB=\frac{a}{\sin\alpha}\).

Высота \(AK\) к стороне \(BC\) определяется как \(AK=a\cot\alpha\).

Проецируя вершину \(C\) на плоскость \(ABK\), имеем прямоугольный треугольник, где \(\tan\beta=\frac{CC_1}{AK}\), откуда \(CC_1=AK\tan\beta\).

Подставляя \(AK=a\cot\alpha\), получаем окончательный результат \(CC_1=a\cot\alpha\tan\beta\).

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) по определению синуса: \(\sin\alpha=\frac{a}{AB}\), отсюда \(AB=\frac{a}{\sin\alpha}\).

2. Опустим из вершины \(A\) высоту \(AK\) на сторону \(BC\). В треугольнике \(ABC\): \(\cot\alpha=\frac{AK}{a}\), поэтому \(AK=a\cot\alpha\).

3. На ребре \(AK\) отметим точку \(D_1\) — проекцию вершины \(C\) на плоскость \(ABK\); тогда \(CD_1\perp ABK\) и треугольник \(AD_1C\) прямоугольный с прямым углом при \(D_1\).

4. В треугольнике \(ABK\) угол при вершине \(B\) равен \(\beta\), следовательно в прямоугольном треугольнике \(AD_1C\) угол при вершине \(A\) также равен \(\beta\).

5. Для треугольника \(AD_1C\) применяем определение тангенса: \(\tan\beta=\frac{CD_1}{AD_1}\). Отсюда \(CD_1=AD_1\tan\beta\).

6. Отрезок \(AD_1\) совпадает с высотой \(AK\), поэтому \(AD_1=AK=a\cot\alpha\).

7. Подставляя \(AD_1\) в выражение для \(CD_1\), получаем \(CD_1=a\cot\alpha\tan\beta\).

8. Высота пирамиды \(CC_1\) равна \(CD_1\), следовательно \(CC_1=a\cot\alpha\tan\beta\).