ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.77 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и соседней боковой гранью равен \(30^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 8 см.

Используем угол \(30^{\circ}\) между диагональю грани \(AB_{1}\) и плоскостью соседней грани. Пусть сторона основания \(a\), высота призмы \(h=8\). Для направляющего вектора \(\vec d=\left(-\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right)\) и нормали \(\vec n=(0,1,0)\) получаем условие \(\cos60^{\circ}=\frac{|\,\vec d\cdot\vec n\,|}{\|\vec d\|}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\). Отсюда \(\sqrt{3}a=\sqrt{a^{2}+h^{2}}\), то есть \(2a^{2}=h^{2}\). При \(h=8\) имеем \(a=4\sqrt{2}\).

Периметр основания \(P=3a=12\sqrt{2}\). Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}=Ph=12\sqrt{2}\cdot8=96\sqrt{2}\,\text{см}^{2}\).

1. Пусть правильная треугольная призма \(AA_{1}B_{1}BB_{2}C_{2}C\) имеет высоту \(h=8\) и сторону основания \(a\).

2. Разместим нижнее основание \(ABC\) в плоскости \(Oxy\): \(B(0,0,0)\), \(C(a,0,0)\), \(A\bigl(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0\bigr)\).

3. Верхнее основание \(A_{1}B_{1}C_{1}\) получим параллельным переносом на вектор \((0,0,h)\): точки \(A_{1}\bigl(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},h\bigr)\), \(B_{1}(0,0,h)\), \(C_{1}(a,0,h)\).

4. Рассмотрим боковую грань \(ABB_{1}A_{1}\). Её диагональ \(AB_{1}\) задаётся направляющим вектором \(\vec d=B_{1}-A=\left(-\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{3}a}{2},h\right)\).

5. Соседняя грань \(BB_{1}C_{1}C\) лежит в плоскости \(y=0\); нормальный вектор к этой плоскости \(\vec n=(0,1,0)\).

6. Требуемый угол между прямой \(AB_{1}\) и плоскостью \(BB_{1}C_{1}C\) равен \(30^{\circ}\). Он дополняет до \(90^{\circ}\) угол \(\varphi\) между векторами \(\vec d\) и \(\vec n\), поэтому \(\varphi=60^{\circ}\).

7. По формуле скалярного произведения: \(\cos\varphi=\frac{|\,\vec d\cdot\vec n\,|}{\|\vec d\|}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\).

8. Подставляя \(\varphi=60^{\circ}\), получаем \(\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}}=\frac12\).

9. Перемножая, имеем \(\sqrt{3}a=\sqrt{a^{2}+h^{2}}\), что даёт \(3a^{2}=a^{2}+h^{2}\), то есть \(2a^{2}=h^{2}\). При \(h=8\) получаем \(a^{2}=32\) и \(a=4\sqrt{2}\).

10. Периметр основания \(P=3a=12\sqrt{2}\), площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}=Ph=12\sqrt{2}\cdot8=96\sqrt{2}\,\text{см}^{2}\).