ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.78 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь поверхности куба равна 216 см\(^2\). Найдите площадь его диагонального сечения.

Площадь полной поверхности куба равна \(6a^{2}=216\), откуда \(a=6\text{ см}\).

Диагональ грани, лежащая в рассматриваемом сечении, равна \(a\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ см}\).

Плоскость сечения представляет прямоугольник со сторонами \(a\) и \(a\sqrt{2}\); его площадь \(S=a\cdot a\sqrt{2}=6\cdot6\sqrt{2}=36\sqrt{2}\text{ см}^{2}\).

1. Площадь полной поверхности куба выражается формулой \(6a^{2}=216\). Отсюда находим ребро: \(a^{2}=36\Rightarrow a=6\text{ см}\).

2. Рассматриваемое сечение проходит через вершины \(D,\,A,\,C_{1},\,E\). Точки \(D\) и \(A\) лежат на одном нижнем ребре, \(C_{1}\) — на верхней грани, а \(E\) — на верхней вершине, расположенной над \(A\). Плоскость таким образом пересекает куб, образуя четырехугольник \(D A C_{1} E\).

3. В основании куба \(A D\) является ребром, поэтому \(A D = a = 6\text{ см}\).

4. Вершины \(A\) и \(E\) соединены вертикальным ребром, следовательно \(A E = a = 6\text{ см}\).

5. Диагональ грани \(A B_{1}\) (или \(A C_{1}\)) имеет длину \(a\sqrt{2}\). Значит \(A C_{1}=6\sqrt{2}\text{ см}\).

6. Отрезок \(C_{1} E\) тоже принадлежит верхней грани и является ребром, потому \(C_{1} E=a=6\text{ см}\).

7. Четырехугольник \(D A C_{1} E\) состоит из прямоугольника \(A D C_{1} E\), так как \(A D\) и \(C_{1} E\) параллельны, а \(A E\) и \(D C_{1}\) пересекаются под прямым углом.

8. Стороны прямоугольника равны \(A D = 6\) и \(A C_{1}=6\sqrt{2}\).

9. Площадь прямоугольника вычисляется как \(S = A D \cdot A C_{1} = 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\text{ см}^{2}\).

10. Следовательно, площадь сечения \(S_{D A C_{1} E}=36\sqrt{2}\text{ см}^{2}\).