ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.79 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\). Точка \(M\) — центр грани \(A_1 B_1 C_1 D_1\), точка \(K\) — центр грани \(ABB_1 A_1\). Найдите угол между прямой \(MK\) и плоскостью \(ABC\).

В кубе \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) со стороной \(a\) точка \(M\) — середина ребра \(B_1C_1\), точка \(K\) — середина диагонали \(BD\); проекция \(M\) на плоскость \(BCD\) — точка \(N\), середина \(BC\).

В треугольнике \(MNK\) \(MN=\frac{a}{2}\), \(KN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\), \(\angle MNK=90^\circ\).

Угол между \(MK\) и плоскостью \(BCD\) равен углу между \(MK\) и его проекцией \(KN\), то есть \(45^\circ\).

1) Рассмотрим куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) со стороной \(a\).
2) Требуется найти угол \(\angle(MK;BCD)\), где \(M\) — середина ребра \(B_1C_1\), а \(K\) — середина диагонали \(BD\).
3) Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на данную плоскость. Следовательно, найдём проекцию отрезка \(MK\) на плоскость \(BCD\).
4) Точка \(M\) принадлежит верхнему основанию, поэтому её проекция на нижнее основание \(BCD\) — точка \(N\), которая является серединой ребра \(BC\).
5) Точка \(K\) уже лежит в плоскости \(BCD\), следовательно, её проекция совпадает с ней самой. Таким образом, проекцией отрезка \(MK\) будет отрезок \(KN\).
6) Рассмотрим треугольник \(BKC\) в основании. Диагональ \(BD\) равна \(a\sqrt2\), значит её середина \(K\) равноудалена от \(B\) и \(D\).
7) В основании \(\triangle BKC\) прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(BK=KC=\frac{a\sqrt2}{2}\).
8) Точка \(N\) — середина \(BC\), следовательно \(BN=NC=\frac{a}{2}\).
9) В прямоугольном треугольнике \(BKN\) гипотенуза \(BK=\frac{a\sqrt2}{2}\) и катет \(BN=\frac{a}{2}\), поэтому по теореме Пифагора \(KN=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt2}{2}\).
10) Полученный треугольник \(MNK\) является прямоугольным равнобедренным, так как \(MN=\frac{a}{2}\) и \(KN=\frac{a\sqrt2}{2}\), причём катеты равны, следовательно \(\angle MKN=45^{\circ}\).
Ответ: \(45^{\circ}\).