ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рёбрах \(AB, AD, AC\) и \(BC\) тетраэдра \(DABC\) отметили соответственно точки \(E, F, M\) и \(K\). Постройте линию пересечения плоскостей \(EFM\) и \(DAK\).

Линия пересечения плоскостей \(EFM\) и \(DAK\) проходит через точку \(A\), так как она общая для обеих плоскостей.

Для нахождения второй точки пересечения рассмотрим пересечение отрезка \(EF\) с плоскостью \(DAK\).

Пусть точка \(L\) лежит на \(EF\), тогда \(L = E + t(F — E)\), где \(0 \leq t \leq 1\).

Плоскость \(DAK\) задается точками \(D, A, K\). Найдем уравнение плоскости \(DAK\).

Вектор \(DA = A — D\), вектор \(DK = K — D\).

Нормаль к плоскости \(DAK\) равна \(\vec{n} = DA \times DK\).

Подставим точку \(L\) в уравнение плоскости: \(\vec{n} \cdot (L — D) = 0\).

Решив это уравнение относительно \(t\), найдем точку \(L\).

Линия пересечения — прямая, проходящая через точки \(A\) и \(L\).

Ответ: линия пересечения плоскостей \(EFM\) и \(DAK\) — прямая \(AL\).

1. Обозначим координаты точек тетраэдра \(DABC\) как \(D(x_D,y_D,z_D)\), \(A(x_A,y_A,z_A)\), \(B(x_B,y_B,z_B)\), \(C(x_C,y_C,z_C)\).

2. Точки \(E, F, M, K\) лежат на ребрах, значит их координаты выражаются через параметры:
\(E = A + \lambda (B — A)\),
\(F = A + \mu (D — A)\),
\(M = A + \nu (C — A)\),
\(K = B + \theta (C — B)\),
где \(\lambda, \mu, \nu, \theta \in [0,1]\).

3. Плоскость \(EFM\) задается тремя точками \(E, F, M\). Найдем два вектора на этой плоскости:
\(\vec{EF} = F — E\),
\(\vec{EM} = M — E\).

4. Вектор нормали к плоскости \(EFM\) вычисляется как векторное произведение:
\(\vec{n}_1 = \vec{EF} \times \vec{EM}\).

5. Плоскость \(DAK\) задается точками \(D, A, K\). Аналогично найдем два вектора:
\(\vec{DA} = A — D\),
\(\vec{DK} = K — D\).

6. Вектор нормали к плоскости \(DAK\) равен:
\(\vec{n}_2 = \vec{DA} \times \vec{DK}\).

7. Линия пересечения двух плоскостей направлена вдоль вектора, который перпендикулярен обеим нормалям, то есть:
\(\vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\).

8. Чтобы найти точку на линии пересечения, решим систему уравнений плоскостей:
\(\vec{n}_1 \cdot (X — E) = 0\),
\(\vec{n}_2 \cdot (X — D) = 0\),
где \(X\) — точка пересечения.

9. Решая эту систему, получим координаты точки \(L\), принадлежащей обеим плоскостям.

10. Линия пересечения плоскостей \(EFM\) и \(DAK\) — прямая, проходящая через точки \(A\) и \(L\).