ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.80 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(E, F\) и \(M\) — середины рёбер \(AD, CD\) и \(BB_1\) куба \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\), соответственно. Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(EFM\).

Для нахождения угла между плоскостями \(ABC\) и \(EFM\) в кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), находим нормальные векторы этих плоскостей. Нормальный вектор плоскости \(ABC\) равен \(\vec{n_1} = (0, 0, 1)\), а плоскости \(EFM\) — \(\vec{n_2} = (0.25, -0.25, -0.5)\). Скалярное произведение векторов \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = -0.5\), а модули векторов \(|\vec{n_1}| = 1\) и \(|\vec{n_2}| = \frac{\sqrt{6}}{4}\).

Косинус угла между векторами равен \(\cos \theta = \frac{-0.5}{1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{-2}{\sqrt{6}}\). Тангенс угла \(\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{3}\). Таким образом, угол между плоскостями равен \(\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\).

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром длиной 1. Для удобства выберем систему координат так, чтобы точка \(A\) находилась в начале координат с координатами \(A(0, 0, 0)\). Тогда ребро \(AB\) расположим вдоль оси \(x\), ребро \(AD\) — вдоль оси \(y\), а ребро \(AA_1\) — вдоль оси \(z\). Таким образом, остальные вершины куба будут иметь координаты: \(B(1, 0, 0)\), \(C(1, 1, 0)\), \(D(0, 1, 0)\), \(A_1(0, 0, 1)\), \(B_1(1, 0, 1)\), \(C_1(1, 1, 1)\), \(D_1(0, 1, 1)\). Такой выбор координат упрощает вычисления и позволяет легко находить координаты точек, лежащих на ребрах куба.

2. Теперь найдем координаты точек \(E\), \(F\) и \(M\), которые являются серединами соответствующих ребер куба. Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), следовательно, её координаты находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(D\): \(E\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = E(0, 0.5, 0)\). Аналогично, точка \(F\) — середина ребра \(CD\), поэтому её координаты: \(F\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = F(0.5, 1, 0)\). Точка \(M\) — середина ребра \(BB_1\), значит её координаты: \(M\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M(1, 0, 0.5)\). Таким образом, мы получили три точки, задающие плоскость \(EFM\).

3. Для определения угла между плоскостями \(ABC\) и \(EFM\) необходимо найти нормальные векторы к этим плоскостям. Начнем с плоскости \(ABC\). Векторы, лежащие в этой плоскости, можно задать как \(\vec{AB} = B — A = (1, 0, 0)\) и \(\vec{AC} = C — A = (1, 1, 0)\). Перпендикулярный вектор к плоскости \(ABC\) находится как векторное произведение этих двух векторов: \(\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC}\). Вычислим его компоненты:
\(
\vec{n_1} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{vmatrix} = (0 \cdot 0 — 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 — 0 \cdot 1, 1 \cdot 1 — 0 \cdot 1) = (0, 0, 1).
\)
Таким образом, нормальный вектор к плоскости \(ABC\) равен \(\vec{n_1} = (0, 0, 1)\).

4. Аналогично найдем нормальный вектор к плоскости \(EFM\). Для этого определим векторы \(\vec{EF} = F — E = (0.5, 0.5, 0)\) и \(\vec{EM} = M — E = (1, -0.5, 0.5)\). Их векторное произведение даст нормальный вектор к плоскости \(EFM\):
\(
\vec{n_2} = \vec{EF} \times \vec{EM} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0.5 & 0.5 & 0 \\
1 & -0.5 & 0.5
\end{vmatrix} = (0.5 \cdot 0.5 — 0 \cdot (-0.5), 0 \cdot 1 — \)
\(-0.5 \cdot 0.5, 0.5 \cdot (-0.5) — 0.5 \cdot 1) = (0.25, -0.25, -0.5).
\)

5. Для нахождения угла между плоскостями используем формулу через скалярное произведение нормальных векторов. Скалярное произведение \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\) равно:
\(
0 \cdot 0.25 + 0 \cdot (-0.25) + 1 \cdot (-0.5) = -0.5.
\)
Далее вычислим длины векторов:
\(
|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1,
\)
\(
|\vec{n_2}| = \sqrt{0.25^2 + (-0.25)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.0625 + 0.0625 + 0.25}=\)
\( = \sqrt{0.375} = \frac{\sqrt{6}}{4}.
\)

6. Косинус угла \(\theta\) между нормальными векторами равен отношению скалярного произведения к произведению их модулей:
\(
\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{-0.5}{1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{4}} = \frac{-2}{\sqrt{6}}.
\)
Поскольку угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами или его дополнению до 180°, возьмем абсолютное значение косинуса для определения угла между плоскостями.

7. Для удобства найдем тангенс угла \(\theta\), используя тригонометрические тождества. Из выражения для косинуса и синуса (через векторное произведение), получаем:
\(
\tan \theta = \frac{\sqrt{1 — \cos^2 \theta}}{|\cos \theta|} = \frac{\sqrt{1 — \left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2}}{\frac{2}{\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{1 — \frac{4}{6}}}{\frac{2}{\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{2}{\sqrt{6}}} = \frac{\sqrt{2}/\sqrt{6}}{2/\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}.
\)

8. Следовательно, угол между плоскостями \(ABC\) и \(EFM\) равен
\(
\theta = \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right).
\)

9. Таким образом, мы получили точное значение угла между заданными плоскостями, используя координаты точек, векторные операции и тригонометрические формулы. Это значение характеризует взаимное расположение плоскостей в пространстве куба.

10. Итоговый ответ: угол между плоскостями \(ABC\) и \(EFM\) равен \(\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\).