ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.82 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Дано: параллелограмм с длиной стороны \(a\), углом \(\alpha\) и углом \(\beta\).

Площадь основания: \(S_{осн} = a^2 \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P \cdot ed_1 = 4a \cdot 2a \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta = 8a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Полная площадь поверхности: \(S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 \sin \alpha + 8a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

1. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной \( a \) и острым углом \( \alpha \). Площадь основания такого ромба рассчитывается по формуле площади параллелограмма, так как ромб — частный случай параллелограмма. Площадь основания равна произведению длины стороны на высоту, которая выражается через синус угла между сторонами. Поэтому площадь основания \( S_{\text{осн}} \) равна \( a^2 \sin \alpha \). Здесь \( a^2 \) — это произведение двух сторон ромба, а \( \sin \alpha \) — отношение высоты к стороне, что и даёт площадь.

2. Рассмотрим боковую поверхность параллелепипеда. Меньшая диагональ основания образует с плоскостью основания угол \( \beta \). Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно определить периметр основания и высоту параллелепипеда. Периметр ромба с длиной стороны \( a \) равен \( P = 4a \). Высота боковой поверхности равна длине ребра \( ed_1 \), которое выражается через диагональ и угол \( \beta \). Диагональ ромба, меньшая из двух, равна \( 2a \sin \frac{\alpha}{2} \). Высота боковой поверхности тогда равна \( 2a \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta \). Таким образом, площадь боковой поверхности равна произведению периметра на высоту: \( S_{\text{бок}} = P \cdot ed_1 = 4a \cdot 2a \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta = 8a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta \).

3. Полная площадь поверхности параллелепипеда — это сумма площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания мы уже нашли как \( a^2 \sin \alpha \), площадь боковой поверхности — \( 8a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta \). Так как параллелепипед имеет две основания, то площадь полная будет \( 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \), что даёт формулу полной площади поверхности: \( S_{\text{полн}} = 2a^2 \sin \alpha + 8a^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta \). Эта формула учитывает все грани параллелепипеда — две грани основания и все боковые грани, площадь которых зависит от угла \( \beta \) между диагональю и плоскостью основания.