ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.83 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковое ребро наклонного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) равно 6 см, а площадь боковой поверхности — 312 см\(^2\). Расстояние между рёбрами \(AA_1\) и \(BB_1\) равно 5 см, а между рёбрами \(BB_1\) и \(DD_1\) — 19 см. Найдите двугранные углы при рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\).

1. Из формулы боковой поверхности
\(312 = (2 \cdot 5 + 2 \cdot x) \cdot 6\),
получаем
\(x = 21 \text{ см}\).

2. По теореме косинусов
\(361 = 25 + 441 — 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos \theta\),
откуда
\(\cos \theta = \frac{1}{2}\),
значит
\(\theta = 60^\circ\).

Ответ: \(x = 21 \text{ см}\), \(\theta = 60^\circ\).

1. Дано: площадь боковой поверхности параллелепипеда \(S_{бок} = 312 \text{ см}^2\), высота \(h = 6 \text{ см}\), одна сторона основания \(AB = 5 \text{ см}\), другая сторона основания \(x\).

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
\(S_{бок} = (2 \cdot AB + 2 \cdot x) \cdot h\).

Подставляем известные значения:
\(312 = (2 \cdot 5 + 2 \cdot x) \cdot 6\).

Раскрываем скобки:
\(312 = (10 + 2x) \cdot 6\).

Делим обе части уравнения на 6:
\(52 = 10 + 2x\).

Вычисляем \(x\):
\(2x = 42\),
\(x = 21 \text{ см}\).

2. Рассмотрим треугольник с вершинами \(M, N, K\), где \(MN\) и \(MK\) — стороны основания параллелепипеда, а \(NK\) — диагональ основания.

По теореме косинусов:
\(NK^2 = MN^2 + MK^2 — 2 \cdot MN \cdot MK \cdot \cos \theta\),
где \(\theta\) — угол между сторонами \(MN\) и \(MK\).

Подставляем значения:
\(361 = 25 + 441 — 2 \cdot 5 \cdot 21 \cdot \cos \theta\).

Упрощаем:
\(361 = 466 — 210 \cos \theta\).

Вычисляем косинус угла:
\(210 \cos \theta = 466 — 361 = 105\),
\(\cos \theta = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}\).

Следовательно,
\(\theta = 60^\circ\).

Ответ:
\(x = 21 \text{ см}\),
угол \(\theta = 60^\circ\).