ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.84 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольный треугольник, площадь которого равна \(S\). Найдите площадь основания пирамиды.

Площадь треугольника \(ASC\) равна \(S\), то есть \(S = \frac{1}{2} A \cdot AC \cdot so\).

Так как \(so = \frac{1}{2} AC\), получаем \(S = \frac{1}{4} A \cdot AC^2\), откуда \(A \cdot AC = 2 \sqrt{S}\).

Длина стороны квадрата \(AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{S}}{\sqrt{2}}\).

Площадь квадрата \(ABCD\) равна \(S_{ABCD} = AB^2 = \left(\frac{2 \sqrt{S}}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2S\).

1. Площадь треугольника \(ASC\) обозначим через \(S\). По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними имеем:
\(S = \frac{1}{2} A \cdot AC \cdot so\).

2. Из условия известно, что \(so = \frac{1}{2} AC\). Подставим это в формулу площади:
\(S = \frac{1}{2} A \cdot AC \cdot \frac{1}{2} AC = \frac{1}{4} A \cdot AC^2\).

3. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы выразить произведение \(A \cdot AC^2\):
\(4S = A \cdot AC^2\).

4. Из этого следует, что
\(A \cdot AC = 2 \sqrt{S}\).

5. Рассмотрим сторону квадрата \(AB\). По условию она равна
\(AB = \frac{AC}{\sqrt{2}}\).

6. Подставим выражение для \(AC\) через \(A \cdot AC\) в формулу для \(AB\):
\(AB = \frac{2 \sqrt{S}}{\sqrt{2}}\).

7. Площадь квадрата \(ABCD\) равна квадрату стороны \(AB\):
\(S_{ABCD} = AB^2 = \left(\frac{2 \sqrt{S}}{\sqrt{2}}\right)^2\).

8. Вычислим квадрат:
\(S_{ABCD} = \frac{4S}{2} = 2S\).

9. Таким образом, площадь квадрата в два раза больше площади треугольника \(ASC\).

10. Итог:
\(S_{ABCD} = 2S\).