ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.86 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна \(a\). Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен \(\alpha\). Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите высоту пирамиды.

Основание пирамиды — прямоугольник, одна сторона равна \(a\), угол между этой стороной и диагональю равен \(\alpha\).

1. В треугольнике \(CBD\):

\(\cos \alpha = \frac{a}{BD} \Rightarrow BD = \frac{a}{\cos \alpha}\).

2. В треугольнике \(CSO\):

\(\tan \beta = \frac{SO}{CD}\).

Так как \(CD = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2 \cos \alpha}\), тогда

\(SO = CD \tan \beta = \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta\).

Ответ: высота пирамиды \(SO = \frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha}\).

Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого равна \(a\). Нам дан угол \(\alpha\) между этой стороной и диагональю прямоугольника. Сначала найдем длину диагонали \(BD\). В треугольнике \(CBD\) сторона \(CB = a\), угол при \(C\) равен \(\alpha\), тогда по определению косинуса:

\(\cos \alpha = \frac{CB}{BD} = \frac{a}{BD}\).

Отсюда выразим диагональ:

\(BD = \frac{a}{\cos \alpha}\).

Это важно, так как диагональ \(BD\) понадобится для дальнейших вычислений.

Далее рассмотрим боковое ребро пирамиды \(SO\), которое образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Высота \(SO\) лежит в треугольнике \(CSO\), где \(CD\) — половина диагонали \(BD\), так как \(O\) — середина основания. Значит,

\(CD = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2 \cos \alpha}\).

Угол \(\beta\) — это угол между боковым ребром и плоскостью основания, значит

\(\tan \beta = \frac{SO}{CD}\),

откуда высота пирамиды

\(SO = CD \tan \beta = \frac{a}{2 \cos \alpha} \tan \beta\).

Таким образом, высота пирамиды выражается формулой

\(SO = \frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha}\),

которая учитывает длину стороны основания, угол между стороной и диагональю, а также угол между боковым ребром и основанием.