ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.87 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, большее основание которой равно 15 см, боковая сторона — 10 см. Двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны \(60^\circ\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Дано: \(AD = 15\) см, \(SD = 10\) см, \(SB = 10\) см, \(\angle B S D = 60^\circ\).

1. Найдём \(BC\): \(AD + BC = AB + BD\), то есть \(15 + BC = 10 + 10\), отсюда \(BC = 5\) см.

2. Найдём \(BU\) (высоту в треугольнике \(SBC\)): \(BU = \sqrt{SB^2 — (BC/2)^2} = \sqrt{100 — 25} = 5\sqrt{3}\) см.

3. Площадь трапеции \(ABCD\): \(S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BU = \frac{5 + 15}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\) см².

4. Площадь треугольника \(SBC\): \(S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BU = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2}\) см².

5. Площадь полной фигуры: \(S_{полная} = S_{ABCD} + S_{SBC} = 50\sqrt{3} + \frac{25\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\) см².

Для начала рассмотрим равенство, данное в условии: \(AD + BC = AB + BD\). Подставим известные значения длин отрезков: \(15 + BC = 10 + 10\). Из этого следует, что \(BC = 20 — 15 = 5\) см. Этот шаг необходим для дальнейших вычислений, поскольку длина \(BC\) является одним из оснований трапеции \(ABCD\), площадь которой нам предстоит найти.

Далее найдём высоту \(BU\) трапеции, опущенную из точки \(B\) на сторону \(SC\). Рассмотрим треугольник \(SBC\), в котором \(SB = 10\) см и \(BC = 5\) см. Высота \(BU\) делит основание \(BC\) пополам, так как треугольник равнобедренный. Применим теорему Пифагора для вычисления \(BU\): \(BU = \sqrt{SB^{2} — \left(\frac{BC}{2}\right)^{2}} = \sqrt{10^{2} — \left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{100 — 6.25} = \sqrt{93.75} = 5\sqrt{3}\) см. Таким образом, высота \(BU\) равна \(5\sqrt{3}\) см.

Теперь вычислим площадь трапеции \(ABCD\), используя формулу площади трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot BU\). Подставим найденные значения: \(S_{ABCD} = \frac{5 + 15}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{20}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 10 \cdot 5\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\) см². Площадь боковой поверхности наклонной грани вычисляется по формуле \(S_{\text{бок.н.}} = \frac{S_{ABCD}}{\cos 60^\circ}\). Поскольку \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), получаем: \(S_{\text{бок.н.}} = \frac{50\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 100\sqrt{3}\) см². Полная площадь наклонной грани равна сумме площади основания и боковой поверхности: \(S_{\text{п.н.}} = S_{\text{бок.н.}} + S_{ABCD} = 100\sqrt{3} + 50\sqrt{3} = 150\sqrt{3}\) см².