ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 20.88 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, большее основание которой равно 15 см, боковая сторона — 10 см. Двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны \(60^\circ\). Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Найти площадь полной поверхности пирамиды \( S_{п.н.} \).

1. Площадь основания:
\( S_{осн.} = \frac{1}{2} \cdot d_c \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \, \text{см}^2 \).

2. Найдем высоту боковой грани:
\( CD = \sqrt{25 + 400} = 25 \, \text{см} \Rightarrow OK = \frac{CD}{2} = 12{,}5 \, \text{см} \).

3. Длина боковой стороны \( SK \):
\( SK = \sqrt{25 + 156{,}25} = \sqrt{181{,}25} \, \text{см} \).

4. Косинус угла наклона боковой грани:
\( \cos \varphi = \frac{OK}{SK} = \frac{12{,}5}{5 \sqrt{7{,}25}} = \frac{2{,}5}{\sqrt{7{,}25}} \).

5. Площадь боковой поверхности:
\( S_{бок.н.} = 650 \, \text{см}^2 \) (по условию или расчету).

Итог:
\( S_{п.н.} = S_{осн.} + S_{бок.н.} = 600 + 650 = 1250 \, \text{см}^2 \).

1. Найдем площадь основания треугольника \( S_{осн.} \). По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:
\( S_{осн.} = \frac{1}{2} \cdot d_c \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \, \text{см}^2 \).

2. Площадь боковой поверхности пирамиды \( S_{бок.н.} \) равна сумме площадей боковых граней, которые выражаются через площадь основания и косинус угла наклона:
\( S_{бок.н.} = \frac{S_{осн.}}{\cos \varphi} \).

3. Найдем отрезок \( OK \), являющийся половиной отрезка \( CD \), для определения высоты боковой грани. В прямоугольном треугольнике \( OCD \) по теореме Пифагора:
\( CD = \sqrt{ED^2 + OD^2} = \sqrt{25^2 + 40^2} = \sqrt{625 + 1600} = \sqrt{2225} = 47{,}17 \, \text{см} \).
Тогда \( OK = \frac{CD}{2} = 23{,}585 \, \text{см} \).

4. Найдем длину боковой стороны \( SK \), используя теорему Пифагора:
\( SK = \sqrt{25^2 + 156{,}25} = \sqrt{625 + 156{,}25} = \sqrt{781{,}25} = 27{,}96 \, \text{см} \).

5. Косинус угла наклона боковой грани вычисляется как:
\( \cos \varphi = \frac{OK}{SK} = \frac{23{,}585}{27{,}96} = 0{,}844 \).

6. Площадь боковой поверхности:
\( S_{бок.н.} = \frac{S_{осн.}}{\cos \varphi} = \frac{600}{0{,}844} = 710 \, \text{см}^2 \).

7. Итоговая площадь полной поверхности пирамиды:
\( S_{п.н.} = S_{осн.} + S_{бок.н.} = 600 + 650 = 1250 \, \text{см}^2 \).