Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \( M \) принадлежит грани \( ASB \) пирамиды \( SABCD \), точка \( K \) — грани \( CSD \) (рис. 3.28). Постройте точку пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \).
\( MK \cap ABC = P \)
1. Пусть координаты точек пирамиды заданы: \(A(x_a, y_a, z_a)\), \(B(x_b, y_b, z_b)\), \(C(x_c, y_c, z_c)\), \(S(x_s, y_s, z_s)\). Точки \(M\) и \(K\) лежат на гранях \(ASB\) и \(CSD\) соответственно, значит их координаты можно выразить как точки на отрезках:
\(M = A + \alpha (S — A) + \beta (B — A)\), где \(\alpha, \beta \geq 0\), \(\alpha + \beta \leq 1\)
\(K = C + \gamma (S — C) + \delta (D — C)\), где \(\gamma, \delta \geq 0\), \(\gamma + \delta \leq 1\)
2. Прямая \(MK\) задаётся параметрически:
\(X = x_m + t(x_k — x_m)\),
\(Y = y_m + t(y_k — y_m)\),
\(Z = z_m + t(z_k — z_m)\),
где \(t\) — параметр, \(M(x_m, y_m, z_m)\), \(K(x_k, y_k, z_k)\).
3. Плоскость \(ABC\) задаётся уравнением:
\(A(x — x_a) + B(y — y_a) + C(z — z_a) = 0\),
где вектор нормали \(\vec{n} = (A, B, C) = ( (y_b — y_a)(z_c — z_a) — (z_b — z_a)(y_c — y_a), (z_b — z_a)(x_c — x_a) — (x_b — x_a)(z_c — z_a), (x_b — x_a)(y_c — y_a) — (y_b — y_a)(x_c — x_a) )\).
4. Подставляем параметры прямой \(MK\) в уравнение плоскости:
\(A(x_m + t(x_k — x_m) — x_a) + B(y_m + t(y_k — y_m) — y_a) + C(z_m + t(z_k — z_m) — z_a) = 0\).
5. Раскрываем скобки и группируем по \(t\):
\(A(x_m — x_a) + B(y_m — y_a) + C(z_m — z_a) + t [ A(x_k — x_m) + B(y_k — y_m) + C(z_k — z_m) ] = 0\).
6. Обозначим:
\(D_0 = A(x_m — x_a) + B(y_m — y_a) + C(z_m — z_a)\),
\(D_1 = A(x_k — x_m) + B(y_k — y_m) + C(z_k — z_m)\).
7. Тогда уравнение для \(t\):
\(D_0 + t D_1 = 0\), откуда
\(t = — \frac{D_0}{D_1}\).
8. Подставляем найденное \(t\) в параметрические уравнения прямой \(MK\) для получения координат точки пересечения:
\(x_p = x_m + t(x_k — x_m)\),
\(y_p = y_m + t(y_k — y_m)\),
\(z_p = z_m + t(z_k — z_m)\).
9. Точка \(P(x_p, y_p, z_p)\) — искомая точка пересечения прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
10. Если \(D_1 = 0\), то прямая \(MK\) параллельна плоскости \(ABC\) и пересечения нет (\(P = \emptyset\)).
