ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На рёбрах \( AB, AD \) и \( CC_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отмечены соответственно точки \( E, F \) и \( M \) (рис. 3.33). Постройте сечение куба плоскостью \( EFM \).

Пусть \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — куб с ребром 1, где \( A = (0;0;0) \), \( B = (1;0;0) \), \( D = (0;1;0) \), \( C = (1;1;0) \), \( C_1 = (1;1;1) \).

Точки: \( E \) на \( AB \), \( F \) на \( AD \), \( M \) на \( CC_1 \).

Пусть \( E = (e;0;0) \), \( F = (0;f;0) \), \( M = (1;1;m) \), где \( 0<e,f,m<1 \).

Векторы \( \overrightarrow{EF} = (-e;f;0) \), \( \overrightarrow{EM} = (1-e;1;m) \).

Нормаль к плоскости:
\( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EM} = (f m; e m; -e — f + e f) \).

Уравнение плоскости через точку \( E \):
\( f m (x — e) + e m y + (-e — f + e f) z = 0 \).

Раскроем скобки:
\( f m x — f m e + e m y + (-e — f + e f) z = 0 \).

Переносим свободный член:
\( f m x + e m y + (-e — f + e f) z = f m e \).

Находим пересечения плоскости с рёбрами куба и соединяем их. Получаем искомое сечение.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с длиной ребра 1. Примем систему координат так, чтобы вершина \( A \) имела координаты \( (0;0;0) \), вершина \( B \) — \( (1;0;0) \), вершина \( D \) — \( (0;1;0) \), вершина \( C \) — \( (1;1;0) \), а вершина \( C_1 \) — \( (1;1;1) \).

2. Точки \( E, F, M \) расположены на рёбрах \( AB, AD \) и \( CC_1 \) соответственно. Пусть \( E \) имеет координаты \( (e;0;0) \), где \( 0 < e < 1 \), \( F \) — \( (0;f;0) \), где \( 0 < f < 1 \), а \( M \) — \( (1;1;m) \), где \( 0 < m < 1 \).

3. Найдём векторы, лежащие в плоскости, проходящей через точки \( E, F, M \). Вектор \( \overrightarrow{EF} = F — E = (-e; f; 0) \), вектор \( \overrightarrow{EM} = M — E = (1 — e; 1; m) \).

4. Найдём вектор нормали к плоскости, вычислив векторное произведение \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{EF} \times \overrightarrow{EM} \).
Вычисляем определитель:
\( \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -e & f & 0 \\ 1 — e & 1 & m \end{vmatrix} = (f m; e m; -e — f + e f) \).

5. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку \( E \) и нормаль к которой равна \( \overrightarrow{n} \):
\( f m (x — e) + e m (y — 0) + (-e — f + e f)(z — 0) = 0 \).

6. Раскроем скобки:
\( f m x — f m e + e m y + (-e — f + e f) z = 0 \).

7. Перенесём свободный член в правую часть:
\( f m x + e m y + (-e — f + e f) z = f m e \).

8. Для построения сечения нужно найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами куба. Для этого подставим в уравнение плоскости координаты концов рёбер и найдём значения параметров.

9. Полученные точки пересечения соединяем отрезками, образуя многоугольник — сечение куба плоскостью, проходящей через \( E, F, M \).

10. Таким образом, сечение построено, и его уравнение задано формулой
\( f m x + e m y + (-e — f + e f) z = f m e \).