Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рёбрах \( AA_1 \) и \( CC_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) отмечены соответственно точки \( E \) и \( F \) (рис. 3.34). Постройте сечение куба плоскостью \( EBF \).
Точки \( E \) и \( F \) лежат на рёбрах \( AA_1 \) и \( CC_1 \) соответственно. Плоскость \( EBF \) проходит через точки \( E, B, F \).
Проведём отрезки \( EB \) и \( BF \).
Плоскость \( EBF \) пересекает ребра куба в точках:
— \( E \) на ребре \( AA_1 \),
— \( B \) — вершина куба,
— \( F \) на ребре \( CC_1 \),
— Найдём точку пересечения плоскости с ребром \( BC \) — обозначим её \( M \),
— Найдём точку пересечения плоскости с ребром \( A D \) — обозначим её \( N \).
Точки \( E, B, F, M, N \) образуют сечение.
Соединяем \( E \) с \( N \), \( N \) с \( M \), \( M \) с \( F \), \( F \) с \( B \), \( B \) с \( E \).
Получаем пятиугольник \( E N M F B \) — искомое сечение куба плоскостью \( EBF \).
1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точки \( E \) и \( F \) лежат на ребрах \( AA_1 \) и \( CC_1 \) соответственно. Пусть \( E \) делит ребро \( AA_1 \) в отношении \( \lambda \), тогда координаты \( E \) можно записать как \( E = A + \lambda (A_1 — A) \), где \( 0 < \lambda < 1 \). Аналогично точка \( F \) делит ребро \( CC_1 \) в отношении \( \mu \), тогда \( F = C + \mu (C_1 — C) \), где \( 0 < \mu < 1 \).
2. Точка \( B \) — вершина куба с координатами, известными из построения. Три точки \( E, B, F \) не лежат на одной прямой, значит через них можно провести плоскость.
3. Найдём уравнение плоскости, проходящей через \( E, B, F \). Для этого вычислим векторы \( \overrightarrow{EB} = B — E \) и \( \overrightarrow{EF} = F — E \). Вектор нормали к плоскости равен векторному произведению \( \mathbf{n} = \overrightarrow{EB} \times \overrightarrow{EF} \).
4. Уравнение плоскости запишем в виде \( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} — E) = 0 \), где \( \mathbf{r} = (x, y, z) \) — произвольная точка плоскости.
5. Чтобы найти сечение куба плоскостью, нужно определить точки пересечения плоскости с рёбрами куба. Рёбра куба — это отрезки между вершинами: \( AB, BC, CD, DA, A A_1, B B_1, C C_1, D D_1, A_1 B_1, B_1 C_1, C_1 D_1, D_1 A_1 \).
6. Известно, что плоскость проходит через точки \( E \) и \( F \), которые лежат на ребрах \( AA_1 \) и \( CC_1 \) соответственно, и через вершину \( B \).
7. Рассмотрим ребро \( BC \). Найдём точку \( M \) пересечения плоскости с ребром \( BC \). Для этого параметризуем ребро: \( M = B + t (C — B) \), где \( 0 \leq t \leq 1 \). Подставим координаты \( M \) в уравнение плоскости и найдём \( t \). Если \( t \in [0,1] \), то \( M \) принадлежит ребру.
8. Аналогично рассмотрим ребро \( AD \). Параметризуем ребро: \( N = A + s (D — A) \), где \( 0 \leq s \leq 1 \). Подставим координаты \( N \) в уравнение плоскости и найдём \( s \). Если \( s \in [0,1] \), то \( N \) принадлежит ребру.
9. Таким образом, сечение куба плоскостью \( EBF \) образуют точки \( E, B, F, M, N \).
10. Соединим точки в порядке \( E \to N \to M \to F \to B \to E \). Получаем пятиугольник \( ENMFB \) — искомое сечение куба плоскостью, проходящей через точки \( E, B, F \).
