Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На рёбрах \( AB, BC \) и \( CD \) тетраэдра \( DABC \) отмечены соответственно точки \( M, K \) и \( N \) (рис. 3.37). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \( MNK \).
Пусть \(M\) — точка на ребре \(AB\), \(K\) — на ребре \(BC\), \(N\) — на ребре \(CD\).
Построим сечение плоскостью \(MNK\).
1. Плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(AD\) в точке \(P\).
2. Найдём точку пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(AD\). Для этого рассмотрим треугольник \(ABD\). Точки \(M\) и \(P\) лежат на ребрах \(AB\) и \(AD\), значит, отрезок \(MP\) лежит в плоскости \(ABD\).
3. Аналогично, плоскость \(MNK\) пересекает ребро \(BD\) в точке \(Q\).
4. Соединим точки \(M, N, K, P, Q\).
5. Сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник \(MNKQ\) или \(MNKP\) в зависимости от расположения точек.
Ответ: сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — четырёхугольник, образованный точками \(M, N, K\) и точками пересечения плоскости с ребрами \(AD\) и \(BD\).
1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) и три точки: \(M\) на ребре \(AB\), \(K\) на ребре \(BC\) и \(N\) на ребре \(CD\). Эти три точки определяют плоскость, которую мы будем использовать для построения сечения тетраэдра. Поскольку плоскость однозначно задаётся тремя точками, достаточно найти, как эта плоскость пересекает остальные рёбра тетраэдра, чтобы определить фигуру сечения.
2. Для того чтобы определить сечение, нужно найти точки пересечения плоскости \(MNK\) с рёбрами \(AD\) и \(BD\), так как на остальных рёбрах уже есть точки \(M\), \(K\), \(N\). Пусть точка \(P\) — это точка пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(AD\). Точка \(P\) лежит на отрезке \(AD\), значит её координаты можно выразить через параметр \(t\), где \(P = A + t( D — A )\), \(0 \leq t \leq 1\). Аналогично точка \(Q\) — точка пересечения плоскости \(MNK\) с ребром \(BD\), и её координаты выражаются через параметр \(s\) по формуле \(Q = B + s( D — B )\), \(0 \leq s \leq 1\).
3. Чтобы найти \(t\) и \(s\), подставим координаты точек \(M\), \(N\), \(K\), \(P\), \(Q\) в уравнение плоскости, проходящей через \(M\), \(N\), \(K\). Уравнение плоскости можно получить из векторного произведения векторов \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\). После этого подставим координаты точек \(P\) и \(Q\) и найдём параметры \(t\) и \(s\), при которых точки лежат в плоскости. Таким образом мы получим точки \(P\) и \(Q\) на рёбрах \(AD\) и \(BD\) соответственно.
4. Теперь у нас есть пять точек: \(M\), \(N\), \(K\), \(P\), \(Q\), которые лежат в одной плоскости \(MNK\). Соединив эти точки последовательно, мы получим многоугольник, который является сечением тетраэдра плоскостью \(MNK\). Этот многоугольник имеет форму четырёхугольника, так как точки \(M\), \(N\), \(K\) уже заданы, а точки \(P\) и \(Q\) добавлены как точки пересечения с рёбрами, что формирует замкнутую фигуру.
5. Итог: сечение тетраэдра плоскостью \(MNK\) — это четырёхугольник, вершинами которого являются точки \(M\), \(N\), \(K\), а также точки пересечения плоскости с рёбрами \(AD\) и \(BD\), обозначенные как \(P\) и \(Q\). Такой подход позволяет однозначно определить форму сечения и его положение внутри тетраэдра.
