Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точки \( M, N \) и \( K \) принадлежат соответственно граням \( ADB, BDC \) и \( CDA \) тетраэдра \( DABC \) (рис. 3.42). Постройте сечение тетраэдра плоскостью \( MNK \).
Точки \( M, N, K \) лежат на гранях \( ADB, BDC, CDA \) соответственно. Чтобы построить сечение тетраэдра плоскостью \( MNK \), нужно найти точки пересечения этой плоскости с рёбрами тетраэдра, не содержащими \( M, N, K \).
Плоскость \( MNK \) пересекает ребра \( AB, BC, AC \). Обозначим точки пересечения как \( P, Q, R \):
\( P = MNK \cap AB \), \( Q = MNK \cap BC \), \( R = MNK \cap AC \).
Соединив точки \( M, N, K, P, Q, R \), получаем многоугольник — сечение тетраэдра плоскостью \( MNK \).
Ответ: сечение — шестиугольник \( M P N Q K R \).
1. Дано тетраэдр \( DABC \). Точки \( M, N, K \) лежат на гранях \( ADB, BDC, CDA \) соответственно. Нужно построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки \( M, N, K \).
2. Плоскость, проходящая через точки \( M, N, K \), пересечёт тетраэдр по многоугольнику. Чтобы найти этот многоугольник, нужно определить точки пересечения плоскости \( MNK \) с рёбрами тетраэдра.
3. Точки \( M, N, K \) лежат на гранях, значит каждая из них лежит на двух рёбрах. Точка \( M \) — на рёбрах \( AD \) и \( DB \), точка \( N \) — на рёбрах \( BD \) и \( DC \), точка \( K \) — на рёбрах \( CD \) и \( DA \).
4. Рассмотрим рёбра, не содержащие точки \( M, N, K \). Это рёбра \( AB, BC, AC \). Плоскость \( MNK \) пересечёт эти рёбра в точках \( P, Q, R \) соответственно.
5. Найдём точки пересечения \( P, Q, R \) плоскости \( MNK \) с рёбрами \( AB, BC, AC \). Для этого можно использовать уравнение плоскости через точки \( M, N, K \) и параметрическое уравнение ребер.
6. Уравнение плоскости \( MNK \) можно записать через векторы: пусть \( \vec{u} = \overrightarrow{MN} \), \( \vec{v} = \overrightarrow{MK} \), тогда нормальный вектор плоскости \( \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \).
7. Подставляя уравнения рёбер \( AB, BC, AC \) в уравнение плоскости, найдём параметры, при которых происходит пересечение, и вычислим координаты точек \( P, Q, R \).
8. Соединим точки \( M, P, N, Q, K, R \) в порядке обхода, чтобы получить многоугольник сечения.
9. Полученный многоугольник — шестиугольник \( M P N Q K R \), который является сечением тетраэдра плоскостью \( MNK \).
10. Итог: сечение тетраэдра \( DABC \) плоскостью, проходящей через точки \( M, N, K \), — это шестиугольник с вершинами \( M, P, N, Q, K, R \).
