ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку пересечения медиан треугольника \( ABC \) параллельно стороне \( AC \) проведена прямая, пересекающая стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( E \) и \( F \) соответственно. Найдите отношение площади треугольника \( EBF \) к площади треугольника \( ABC \).

Отношение площадей равно квадрату отношения сторон: \( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{EF}{AC}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).

1. Пусть \( G \) — точка пересечения медиан треугольника \( ABC \). Известно, что медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1 \), считая от вершины.

2. Прямая \( EF \) проведена через точку \( G \) параллельно стороне \( AC \). По свойству параллельных прямых в треугольнике эта прямая делит стороны \( AB \) и \( BC \) на пропорциональные отрезки.

3. Так как \( G \) находится на медиане, которая делит сторону \( BC \) пополам, и \( EF \parallel AC \), то отрезок \( EF \) является средней линией, но проходит через точку, делящую медиану в отношении \( 2:1 \).

4. Следовательно, длина отрезка \( EF \) равна \( \frac{2}{3} \) длины стороны \( AC \).

5. Треугольники \( EBF \) и \( ABC \) подобны по двум углам, так как \( EF \parallel AC \).

6. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, то есть \( \frac{EF}{AC} = \frac{2}{3} \).

7. Площадь треугольника пропорциональна квадрату коэффициента подобия.

8. Значит, отношение площадей равно \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 \).

9. Вычисляем квадрат: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \).

10. Итог: \( \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \).