Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \( M \) принадлежит грани \( ASC \) тетраэдра \( SABC \), точка \( D \) — ребру \( BC \) (рис. 3.23). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую \( SD \) и точку \( M \).
Пусть \( M \) — точка на грани \( ASC \), \( D \) — точка на ребре \( BC \). Через прямую \( SD \) и точку \( M \) проведём плоскость.
Найдём пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра:
1. Плоскость проходит через \( S \), \( D \), \( M \).
2. Точка \( M \) принадлежит грани \( ASC \), значит, она лежит на отрезках \( AS \) и \( SC \).
3. Пересечение плоскости с ребром \( AC \) найдём, соединив точки пересечения с \( AS \) и \( SC \).
4. Пересечения с ребрами \( AB \) и \( BC \) — точка \( D \) на \( BC \) и точка пересечения с \( AB \) найдётся из условия принадлежности плоскости.
Сечение тетраэдра — четырёхугольник, вершинами которого являются точки \( S \), \( D \), \( M \) и точка пересечения плоскости с \( AC \).
1. Дана точка \( M \), лежащая на грани \( ASC \), значит \( M \) принадлежит треугольнику с вершинами \( A \), \( S \), \( C \). Это значит, что \( M \) лежит на отрезках \( AS \) или \( SC \) или внутри треугольника \( ASC \).
2. Точка \( D \) лежит на ребре \( BC \), значит \( D \) — точка на отрезке между вершинами \( B \) и \( C \).
3. Плоскость, проходящая через прямую \( SD \) и точку \( M \), однозначно задаётся, так как прямая и точка вне неё определяют плоскость.
4. Рассмотрим ребра тетраэдра, чтобы найти точки пересечения плоскости с ними: \( SA \), \( SC \), \( AB \), \( AC \), \( BC \), \( SD \).
5. На ребре \( BC \) уже есть точка \( D \), которая принадлежит плоскости, так как \( D \in SD \).
6. Точка \( M \) принадлежит плоскости по условию.
7. Найдём пересечение плоскости с ребром \( AC \). Так как \( M \in ASC \), и плоскость содержит \( M \) и прямую \( SD \), то пересечение с \( AC \) — это точка \( N \), которую можно найти из уравнений плоскости и параметрического уравнения ребра \( AC \).
8. Аналогично найдём пересечение плоскости с ребром \( AB \). Обозначим точку пересечения как \( P \).
9. Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через \( SD \) и \( M \), представляет собой четырёхугольник с вершинами \( S \), \( D \), \( M \) и \( N \) (или \( P \), в зависимости от расположения точек).
10. Итог: сечение — четырёхугольник \( S D M N \), где \( N \) — точка пересечения плоскости с ребром \( AC \).
