Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На боковых рёбрах \( SA \) и \( SB \) пирамиды \( SABCD \) отметили соответственно точки \( M \) и \( K \). Постройте точку пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \).
Пусть \(M\) и \(K\) заданы на ребрах \(SA\) и \(SB\) соответственно. Тогда координаты \(M\) и \(K\) можно выразить через параметр \(t\):
\(M = S + t_1(A — S)\),
\(K = S + t_2(B — S)\).
Прямая \(MK\) задаётся уравнением
\(X = M + \lambda(K — M)\).
Плоскость \(ABC\) задаётся уравнением
\((X — A, AB, AC) = 0\),
где \((\cdot, \cdot, \cdot)\) — смешанное произведение векторов.
Подставляем \(X\) из уравнения прямой в уравнение плоскости и находим \(\lambda\):
\((M + \lambda(K — M) — A, AB, AC) = 0\).
Решаем относительно \(\lambda\):
\(\lambda = -\frac{(M — A, AB, AC)}{(K — M, AB, AC)}\).
Точка пересечения \(P\):
\(P = M + \lambda(K — M)\).
1. Пусть \(S, A, B, C, D\) — вершины пирамиды, а \(M\) и \(K\) — точки на ребрах \(SA\) и \(SB\) соответственно. Тогда точки \(M\) и \(K\) можно задать как
\(M = S + t_1(A — S)\),
\(K = S + t_2(B — S)\),
где \(0 < t_1, t_2 < 1\).
2. Прямая \(MK\) задаётся уравнением
\(X = M + \lambda(K — M)\),
где \(\lambda\) — параметр.
3. Плоскость \(ABC\) определяется тремя точками \(A, B, C\). Векторы, лежащие в плоскости:
\(\vec{AB} = B — A\),
\(\vec{AC} = C — A\).
4. Нормальный вектор к плоскости \(ABC\) равен векторному произведению
\(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}\).
5. Уравнение плоскости \(ABC\) в векторной форме:
\((X — A) \cdot \vec{n} = 0\).
6. Подставим уравнение прямой \(X = M + \lambda(K — M)\) в уравнение плоскости:
\((M + \lambda(K — M) — A) \cdot \vec{n} = 0\).
7. Раскроем скобки:
\((M — A) \cdot \vec{n} + \lambda (K — M) \cdot \vec{n} = 0\).
8. Найдём параметр \(\lambda\):
\(\lambda = — \frac{(M — A) \cdot \vec{n}}{(K — M) \cdot \vec{n}}\).
9. Подставим \(\lambda\) в уравнение прямой, чтобы найти точку пересечения:
\(P = M + \lambda (K — M)\).
10. Точка \(P\) — искомое пересечение прямой \(MK\) с плоскостью \(ABC\).
