Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 3.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На боковых рёбрах \( SA \) и \( SC \) пирамиды \( SABCD \) отметили соответственно точки \( M \) и \( K \). Постройте точку пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \).
Пусть \( M \) и \( K \) заданы на ребрах \( SA \) и \( SC \) соответственно. Тогда координаты \( M \) и \( K \) можно представить как
\( M = S + \lambda (A — S) \), где \( 0 < \lambda < 1 \)
\( K = S + \mu (C — S) \), где \( 0 < \mu < 1 \)
Прямая \( MK \) задаётся уравнением
\( \mathbf{r}(t) = M + t(K — M) \)
Плоскость \( ABC \) задаётся уравнением
\( \vec{n} \cdot (\mathbf{r} — A) = 0 \), где \( \vec{n} = (B — A) \times (C — A) \)
Подставляем \( \mathbf{r}(t) \) в уравнение плоскости и находим \( t \) из уравнения
\( \vec{n} \cdot (M + t(K — M) — A) = 0 \)
Решаем:
\( t = — \frac{\vec{n} \cdot (M — A)}{\vec{n} \cdot (K — M)} \)
Точка пересечения:
\( P = M + t(K — M) \)
1. Пусть даны точки пирамиды \( S, A, B, C, D \). Точки \( M \) и \( K \) лежат на ребрах \( SA \) и \( SC \) соответственно. Тогда координаты точек \( M \) и \( K \) можно выразить через параметрические отношения:
\( M = S + \lambda (A — S) \), где \( 0 < \lambda < 1 \)
\( K = S + \mu (C — S) \), где \( 0 < \mu < 1 \)
2. Прямая, проходящая через точки \( M \) и \( K \), задаётся уравнением:
\( \mathbf{r}(t) = M + t(K — M) \), где \( t \in \mathbb{R} \)
3. Плоскость \( ABC \) определяется точками \( A, B, C \). Вектор нормали к плоскости находится как векторное произведение:
\( \vec{n} = (B — A) \times (C — A) \)
4. Уравнение плоскости \( ABC \) можно записать в виде:
\( \vec{n} \cdot (\mathbf{r} — A) = 0 \), где \( \mathbf{r} \) — любая точка плоскости
5. Подставим параметрическое уравнение прямой \( MK \) в уравнение плоскости:
\( \vec{n} \cdot (M + t(K — M) — A) = 0 \)
6. Раскроем скобки и применим свойства скалярного произведения:
\( \vec{n} \cdot (M — A) + t \vec{n} \cdot (K — M) = 0 \)
7. Решим уравнение относительно параметра \( t \):
\( t = — \frac{\vec{n} \cdot (M — A)}{\vec{n} \cdot (K — M)} \)
8. Подставим найденное значение \( t \) обратно в уравнение прямой, чтобы найти координаты точки пересечения:
\( P = M + t(K — M) \)
9. Точка \( P \) является искомой точкой пересечения прямой \( MK \) с плоскостью \( ABC \).
10. Таким образом, мы выразили точку пересечения через известные координаты \( S, A, B, C \) и параметры \( \lambda, \mu \), задающие положения точек \( M \) и \( K \) на ребрах пирамиды.
