ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сколько плоскостей задают четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости? Сделайте рисунок.

Четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости, задают 6 плоскостей.

Обозначим прямые \(a, b, c, d\). Пары параллельных прямых: \(a \parallel b\) и \(c \parallel d\).

Плоскости, которые задают эти прямые:
1) через \(a\) и \(b\) — 1 плоскость,
2) через \(c\) и \(d\) — 1 плоскость,
3) через \(a\) и \(c\) — 1 плоскость,
4) через \(a\) и \(d\) — 1 плоскость,
5) через \(b\) и \(c\) — 1 плоскость,
6) через \(b\) и \(d\) — 1 плоскость.

Итого: \(6\) плоскостей.

1. Даны четыре прямые \(a, b, c, d\), которые попарно параллельны. Это значит, что каждая пара прямых параллельна друг другу: \(a \parallel b\), \(a \parallel c\), \(a \parallel d\), \(b \parallel c\), \(b \parallel d\), \(c \parallel d\).

2. Условие, что никакие три прямые не лежат в одной плоскости, означает, что нельзя найти плоскость, в которой одновременно лежали бы три из этих прямых. Это важно, так как плоскость определяется двумя прямыми, и если три лежат в одной, то количество плоскостей уменьшится.

3. Рассмотрим пары прямых. Каждая пара параллельных прямых определяет плоскость, так как через две параллельные прямые можно провести ровно одну плоскость.

4. Первая плоскость образуется прямыми \(a\) и \(b\), так как они параллельны. Обозначим её как \(\alpha\).

5. Вторая плоскость образуется прямыми \(c\) и \(d\), они тоже параллельны и не лежат в плоскости \(\alpha\), так как иначе три прямые лежали бы в одной плоскости. Обозначим эту плоскость как \(\beta\).

6. Теперь рассмотрим плоскости, образованные по одной прямой из каждой пары. Например, плоскость через \(a\) и \(c\) — она существует и отличается от \(\alpha\) и \(\beta\), так как \(c\) не лежит в \(\alpha\), а \(a\) не лежит в \(\beta\).

7. Аналогично существуют плоскости через \(a\) и \(d\), \(b\) и \(c\), \(b\) и \(d\). Каждая из них различна, так как иначе три прямые лежали бы в одной плоскости, что запрещено условием.

8. Таким образом, всего существует 6 различных плоскостей:
\(\alpha\) через \(a\) и \(b\),
\(\beta\) через \(c\) и \(d\),
плоскости через \(a\) и \(c\),
через \(a\) и \(d\),
через \(b\) и \(c\),
через \(b\) и \(d\).

9. Проверим количество: 2 плоскости через пары параллельных прямых и 4 плоскости через сочетания прямых из разных пар.

10. Ответ: четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости, задают \(6\) плоскостей.