Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Конец \( A \) отрезка \( AB \) принадлежит плоскости \( \alpha \). Через точку \( B \) и точку \( C \), принадлежащую отрезку \( AB \), проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( B_1 \) и \( C_1 \) соответственно.
1) Докажите, что точки \( A, B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой.
2) Найдите отрезок \( BB_1 \), если точка \( C \) — середина отрезка \( AB \) и \( CC_1 = 5 \) см.
3) Найдите отрезок \( CC_1 \), если \( AC : BC = 3 : 4 \) и \( BB_1 = 28 \) см.
1) Точки \( A, B_1, C_1 \) лежат на одной прямой, так как \( BB_1 \parallel CC_1 \) и \( C \in AB \).
2) \( C \) — середина \( AB \), значит \( BB_1 = 2 \cdot CC_1 = 2 \cdot 5 = 10 \) см.
3) Из условия \( \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} \), тогда
\( \frac{CC_1}{BB_1} = \frac{3}{7} \) (по условию из примера),
значит \( CC_1 = \frac{3}{7} \cdot 28 = 12 \) см.
1) Точки \( A, B_1, C_1 \) лежат на одной прямой, потому что \( C \) лежит на отрезке \( AB \), а прямые \( BB_1 \) и \( CC_1 \) параллельны. Поскольку \( B_1 \) и \( C_1 \) — точки пересечения этих параллельных прямых с плоскостью \( \alpha \), они лежат в этой плоскости. Тогда проекции точек \( B \) и \( C \) на плоскость по параллельным прямым лежат на одной прямой с точкой \( A \), которая уже принадлежит плоскости \( \alpha \). Значит, \( A, B_1, C_1 \) коллинеарны.
2) Если \( C \) — середина отрезка \( AB \), то длина отрезка \( AC \) равна длине отрезка \( CB \), то есть \( AC = CB \). Из условия \( BB_1 \parallel CC_1 \) следует, что треугольники, образованные точками \( B, C, B_1, C_1 \), подобны. Тогда отношение отрезков \( BB_1 \) и \( CC_1 \) равно отношению отрезков \( AB \) и \( AC \). Так как \( AC = CB = \frac{1}{2} AB \), то \( BB_1 = 2 \cdot CC_1 \). Подставляя \( CC_1 = 5 \) см, получаем \( BB_1 = 2 \cdot 5 = 10 \) см.
3) Если отношение \( AC : BC = 3 : 4 \), то длина всего отрезка \( AB = AC + BC = 3 + 4 = 7 \) частей. Из подобия треугольников следует, что отношение \( CC_1 : BB_1 \) равно отношению \( AC : AB \), то есть \( \frac{CC_1}{BB_1} = \frac{3}{7} \). Известно, что \( BB_1 = 28 \) см, значит \( CC_1 = \frac{3}{7} \cdot 28 = 12 \) см.
