ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На отрезке \( AB \), не пересекающем плоскость \( \alpha \), отмечена точка \( C \) так, что \( AC = 4 \) см, \( BC = 8 \) см. Через точки \( A, B \) и \( C \) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1, B_1 \) и \( C_1 \) соответственно.

1) Докажите, что точки \( A_1, B_1 \) и \( C_1 \) лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок \( A_1C_1 \), если \( B_1C_1 = 10 \) см.

Пусть \( A, B, C \) — точки на одной прямой, а через них проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1, B_1, C_1 \). Тогда \( A_1, B_1, C_1 \) лежат на одной прямой.

Длина отрезка \( AB = AC + BC = 4 + 8 = 12 \) см.

По свойству пропорциональности:
\[
\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC}
\]

Подставляем известные значения:
\[
\frac{A_1B_1}{12} = \frac{10}{8}
\]

Отсюда
\[
A_1B_1 = \frac{10 \cdot 12}{8} = 15 \text{ см}
\]

Тогда
\[
A_1C_1 = A_1B_1 — B_1C_1 = 15 — 10 = 5 \text{ см}
\]

1) Пусть через точки \( A, B, C \) проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1, B_1, C_1 \) соответственно. Поскольку все эти прямые параллельны, то их пересечения с плоскостью \( \alpha \) лежат на одной прямой. Значит, точки \( A_1, B_1, C_1 \) коллинеарны.

2) Длина отрезка \( AB \) равна сумме длин его частей:
\( AB = AC + BC = 4 + 8 = 12 \) см.

3) Так как прямые через \( A, B, C \) параллельны, отрезки \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \) пропорциональны соответствующим отрезкам \( AB \) и \( BC \). Запишем пропорцию:
\( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} \).

4) Подставим известные значения:
\( \frac{A_1B_1}{12} = \frac{10}{8} \).

5) Найдем \( A_1B_1 \):
\( A_1B_1 = \frac{10 \cdot 12}{8} = 15 \) см.

6) Теперь вычислим искомую длину \( A_1C_1 \), которая равна разности отрезков \( A_1B_1 \) и \( B_1C_1 \):
\( A_1C_1 = A_1B_1 — B_1C_1 = 15 — 10 = 5 \) см.