Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямые \( a, b \) и \( c \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( A, B \) и \( C \), не лежащих на одной прямой (рис. 4.16). Прямая \( b \) пересекает прямую \( a \) в точке \( D \), а прямая \( c \) — в точке \( E \). Докажите, что прямые \( b \) и \( c \) скрещивающиеся.
Дано: прямые \(a, b, c\) пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A, B, C\), которые не лежат на одной прямой. Прямая \(b\) пересекает \(a\) в точке \(D\), прямая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(E\).
Докажем, что \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
Если \(b\) и \(c\) пересекались бы, то точка их пересечения лежала бы одновременно на \(b\) и \(c\). Но \(b\) и \(c\) пересекают \(a\) в разных точках \(D\) и \(E\), значит они не совпадают и не лежат в одной плоскости с \(a\).
Точки \(A, B, C\) не лежат на одной прямой, значит прямые \(b\) и \(c\) не лежат в плоскости \(\alpha\) и не пересекаются. Значит \(b\) и \(c\) — скрещивающиеся.
1. Даны три прямые \(a, b, c\), которые пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A, B, C\) соответственно. Точки \(A, B, C\) не лежат на одной прямой, значит они образуют треугольник в плоскости \(\alpha\).
2. Прямая \(b\) пересекает прямую \(a\) в точке \(D\), а прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(E\). Точки \(D\) и \(E\) принадлежат прямой \(a\).
3. Если бы прямые \(b\) и \(c\) пересекались, то у них была бы общая точка пересечения \(F\), которая лежит и на \(b\), и на \(c\).
4. Рассмотрим, где может лежать точка \(F\). Если \(F\) лежит в плоскости \(\alpha\), то все три точки \(B, C, F\) находятся в \(\alpha\).
5. Тогда прямые \(b\) и \(c\) лежали бы в плоскости \(\alpha\), так как они содержат точки \(B, F\) и \(C, F\) соответственно.
6. Но прямая \(a\) пересекает \(b\) и \(c\) в разных точках \(D\) и \(E\), а точки \(D\) и \(E\) принадлежат \(a\) и, следовательно, лежат в \(\alpha\).
7. Если бы \(b\) и \(c\) лежали в плоскости \(\alpha\), то точки \(B, C, D, E\) были бы в одной плоскости и, учитывая, что \(D\) и \(E\) принадлежат \(a\), точки \(B, C\) должны были бы лежать на одной прямой с \(A\), что противоречит условию.
8. Значит, \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости, и не могут пересекаться.
9. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
10. Следовательно, прямые \(b\) и \(c\) скрещивающиеся.
