ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?

Утверждение для плоскости: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. В пространстве это не всегда верно.

Пример: Пусть прямые \(a\) и \(b\) параллельны и лежат в разных плоскостях. Прямая \(c\) пересекает \(a\), но не пересекает \(b\), так как они находятся в разных плоскостях.

Ответ: Не верно.

1. Пусть на плоскости даны две параллельные прямые \(a\) и \(b\), то есть они не пересекаются и лежат в одной плоскости.

2. Рассмотрим прямую \(c\), которая пересекает прямую \(a\) в точке \(A\).

3. Так как \(a \parallel b\), то по свойствам параллельных прямых, если прямая \(c\) пересекает одну из них, то она обязательно пересечёт и другую.

4. Следовательно, прямая \(c\) пересекает прямую \(b\) в некоторой точке \(B\).

5. Таким образом, на плоскости утверждение «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую» верно.

6. Теперь рассмотрим пространство, где прямые \(a\) и \(b\) параллельны, но лежат в разных плоскостях.

7. Пусть прямая \(c\) пересекает прямую \(a\) в точке \(A\), при этом \(c\) лежит в плоскости, содержащей \(a\).

8. Прямая \(b\) лежит в другой плоскости, параллельной первой, и не пересекается с \(c\), так как они не лежат в одной плоскости.

9. Следовательно, прямая \(c\) пересекает одну из параллельных прямых \(a\), но не пересекает другую \(b\).

10. Ответ: утверждение в пространстве не всегда верно. Оно справедливо только для прямых, лежащих в одной плоскости.