Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \( M \) не принадлежит ни одной из параллельных прямых \( a \) и \( b \). Известно, что через точку \( M \) можно провести прямую, пересекающую каждую из прямых \( a \) и \( b \). Докажите, что прямые \( a \) и \( b \) и точка \( M \) лежат в одной плоскости.
Пусть \( a \parallel b \). Тогда существует плоскость \( \alpha \), в которой лежат \( a \) и \( b \). Через точку \( M \) проведена прямая \( l \), пересекающая \( a \) и \( b \) в точках \( A \) и \( B \). Точки \( A \) и \( B \) лежат в плоскости \( \alpha \), значит прямая \( l \), проходящая через \( A \) и \( B \), тоже лежит в \( \alpha \). Так как \( M \in l \), то \( M \in \alpha \). Следовательно, \( a \), \( b \) и \( M \) лежат в одной плоскости.
1. Пусть даны две прямые \( a \) и \( b \), такие что \( a \parallel b \). По определению параллельных прямых, существует плоскость \( \alpha \), в которой лежат обе эти прямые.
2. Рассмотрим точку \( M \), которая не принадлежит ни прямой \( a \), ни прямой \( b \).
3. По условию через точку \( M \) можно провести прямую \( l \), которая пересекает обе прямые \( a \) и \( b \). Обозначим точки пересечения: \( A = l \cap a \) и \( B = l \cap b \).
4. Поскольку точки \( A \) и \( B \) лежат на прямых \( a \) и \( b \) соответственно, они принадлежат плоскости \( \alpha \).
5. Прямая \( l \), проходящая через точки \( A \) и \( B \), целиком лежит в плоскости \( \alpha \), так как плоскость содержит все точки прямой, проходящей через любые две свои точки.
6. Точка \( M \) лежит на прямой \( l \), следовательно, \( M \in \alpha \).
7. Таким образом, точка \( M \) и прямые \( a \) и \( b \) лежат в одной плоскости \( \alpha \).
8. Следовательно, если через точку \( M \), не лежащую на прямых \( a \) и \( b \), можно провести прямую, пересекающую обе эти параллельные прямые, то \( a \), \( b \) и \( M \) лежат в одной плоскости.
9. Доказано, что условие параллельности и наличие такой прямой \( l \) гарантируют совместное расположение в одной плоскости.
10. Итог: \( a \), \( b \) и \( M \) лежат в одной плоскости \( \alpha \).
