Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Треугольник \( ABC \) не имеет общих точек с плоскостью \( \alpha \). Отрезок \( BM \) — медиана треугольника \( ABC \), точка \( O \) — середина отрезка \( BM \). Через точки \( A, B, C, M \) и \( O \) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( A_1, B_1, C_1, M_1 \) и \( O_1 \) соответственно. Найдите отрезок \( BB_1 \), если \( AA_1 = 17 \) см, \( CC_1 = 13 \) см, \( OO_1 = 12 \) см.
Отрезок \( BM \) — медиана, значит \( M \) — середина \( AC \), тогда \( M = \frac{A + C}{2} \).
Точка \( O \) — середина \( BM \), значит \( O = \frac{B + M}{2} = \frac{B + \frac{A + C}{2}}{2} = \frac{2B + A + C}{4} \).
Пусть длины отрезков проекций равны \( AA_1 = 17 \), \( CC_1 = 13 \), \( OO_1 = 12 \).
Так как прямые параллельны, то длина \( OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2} \), а \( MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2} \).
Подставляем:
\( 12 = \frac{BB_1 + \frac{17 + 13}{2}}{2} \)
\( 12 = \frac{BB_1 + 15}{2} \)
Умножаем обе части на 2:
\( 24 = BB_1 + 15 \)
Вычитаем 15:
\( BB_1 = 24 — 15 = 9 \)
В треугольнике \( ABC \) точка \( M \) является серединой стороны \( AC \). Это означает, что \( M \) делит отрезок \( AC \) на две равные части. Если представить координаты точек \( A \) и \( C \) как векторные величины, то координаты точки \( M \) можно найти по формуле среднего арифметического этих координат: \( M = \frac{A + C}{2} \). Таким образом, точка \( M \) находится ровно посередине между точками \( A \) и \( C \), что является ключевым для дальнейших вычислений.
Далее, точка \( O \) определяется как середина отрезка \( BM \). Поскольку мы уже выразили \( M \), то теперь можем записать координаты \( O \) через координаты точек \( B \), \( A \) и \( C \). По определению середины отрезка, \( O = \frac{B + M}{2} \). Подставляя выражение для \( M \), получаем \( O = \frac{B + \frac{A + C}{2}}{2} \). Приводя выражение к общему знаменателю, это равно \( \frac{2B + A + C}{4} \). Получается, что точка \( O \) находится в четверти расстояния, учитывая вес каждой из точек, и это важно для понимания расположения точек и их проекций.
Теперь рассмотрим проекции этих точек на плоскость \( \alpha \), которые обозначены как \( A_1, B_1, C_1, M_1, O_1 \). Из условия известно, что отрезки \( AA_1, BB_1, CC_1, MM_1, OO_1 \) параллельны, а значит, длины этих отрезков связаны между собой пропорционально. Поскольку \( M \) — середина \( AC \), то и \( M_1 \) — середина \( A_1C_1 \), следовательно, длина отрезка \( MM_1 \) равна средней арифметической длине отрезков \( AA_1 \) и \( CC_1 \), то есть \( MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2} \). Аналогично, так как \( O \) — середина \( BM \), точка \( O_1 \) является серединой отрезка \( B_1M_1 \), и тогда длина \( OO_1 \) равна средней арифметической длине отрезков \( BB_1 \) и \( MM_1 \), то есть \( OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2} \).
Подставим известные значения из условия: \( AA_1 = 17 \), \( CC_1 = 13 \), \( OO_1 = 12 \). Сначала вычислим \( MM_1 \) по формуле средней арифметической: \( MM_1 = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \). Далее, используя формулу для \( OO_1 \), подставим найденное значение \( MM_1 \): \( 12 = \frac{BB_1 + 15}{2} \). Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части равенства на 2, получим \( 24 = BB_1 + 15 \). Вычтем 15 из обеих частей: \( BB_1 = 24 — 15 = 9 \). Таким образом, длина отрезка \( BB_1 \) равна 9.
