Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямая пересекает сторону \( AB \) треугольника \( ABC \) в точке \( M \), а сторону \( BC \) — в точке \( K \), таких, что \(\frac{BM}{MK} = \frac{BK}{KC}\). Докажите, что \( MK \parallel AC \).
Дано: \( \triangle ABC \), точки \( M \) на \( AB \) и \( K \) на \( BC \), такие что \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \).
Докажем, что \( MK \parallel AC \).
Пусть \( \angle B \) — общий угол для \( \triangle BMK \) и \( \triangle BCA \).
По условию \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \), значит треугольники \( BMK \) и \( BCA \) подобны по признаку \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \) и равенству угла \( \angle B \).
Из подобия следует, что \( \angle BMK = \angle BAC \).
По признаку равенства соответственных углов, \( MK \parallel AC \).
1. Рассмотрим треугольник \( ABC \) и точки \( M \) на стороне \( AB \), \( K \) на стороне \( BC \), такие что выполнено равенство \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \).
2. Обозначим угол при вершине \( B \) в треугольнике \( ABC \) как \( \angle ABC \). Этот угол является общим для треугольников \( BMK \) и \( BCA \), так как обе фигуры имеют вершину в точке \( B \).
3. По условию, отношение отрезков на стороне \( AB \) равно отношению отрезков на стороне \( BC \), то есть \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \).
4. Рассмотрим треугольники \( BMK \) и \( BCA \). В них угол \( \angle B \) общий, а отношения сторон около этого угла равны: \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \).
5. По признаку подобия треугольников, если у двух треугольников один угол равен, а прилегающие к нему стороны пропорциональны, то треугольники подобны. Значит, \( \triangle BMK \sim \triangle BCA \).
6. Из подобия следует, что соответствующие углы равны, в частности угол \( \angle BMK \) равен углу \( \angle BAC \).
7. Угол \( \angle BMK \) находится при вершине \( M \) в треугольнике \( BMK \), а угол \( \angle BAC \) — при вершине \( A \) в треугольнике \( BCA \).
8. Так как углы равны и лежат при пересечении прямых \( MK \) и \( AC \) с секущей \( BC \), то по признаку равенства соответственных углов прямые \( MK \) и \( AC \) параллельны.
9. Следовательно, \( MK \parallel AC \).
10. Таким образом, доказано, что при условии \( \frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} \) прямая \( MK \) параллельна стороне \( AC \) треугольника \( ABC \).
