Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \( E \) — середина медианы \( BM \) треугольника \( ABC \). Прямая \( AE \) пересекает сторону \( BC \) в точке \( K \). Найдите отношение, в котором точка \( K \) делит отрезок \( BC \), считая от вершины \( B \).
Пусть \( M \) — середина \( AC \), тогда \( BM \) — медиана. Точка \( E \) — середина \( BM \), значит \( E \) делит \( BM \) пополам.
Так как \( M \) — середина \( AC \), то \( BM \) соединяет вершину \( B \) с серединой стороны \( AC \).
Проведём прямую \( AE \), она пересекает \( BC \) в точке \( K \).
В треугольнике \( ABC \) точка \( E \) — середина медианы \( BM \), значит \( E \) делит медиану \( BM \) в отношении \( 1:1 \).
Точка \( K \) делит сторону \( BC \) в отношении \( BK:KC = 1:2 \).
Ответ: \( \frac{BK}{KC} = \frac{1}{2} \).
1. Пусть \( \triangle ABC \) — данный треугольник, \( BM \) — медиана, значит точка \( M \) — середина отрезка \( AC \). Тогда \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \).
2. Точка \( E \) — середина медианы \( BM \), следовательно \( \vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{M}}{2} = \frac{\vec{B} + \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}}{2} = \frac{2\vec{B} + \vec{A} + \vec{C}}{4} \).
3. Прямая \( AE \) задаётся уравнением \( \vec{R}(t) = \vec{A} + t(\vec{E} — \vec{A}) \), где \( t \) — параметр.
4. Точка \( K \) лежит на стороне \( BC \), значит \( \vec{K} = \vec{B} + s(\vec{C} — \vec{B}) \), где \( s \) — параметр, показывающий отношение деления отрезка \( BC \).
5. Приравниваем координаты точек на прямой \( AE \) и на отрезке \( BC \): \( \vec{A} + t(\vec{E} — \vec{A}) = \vec{B} + s(\vec{C} — \vec{B}) \).
6. Для упрощения примем систему координат так, что \( \vec{B} = \vec{0} \), \( \vec{C} = \vec{c} \), \( \vec{A} = \vec{a} \).
7. Тогда \( \vec{E} = \frac{2\cdot \vec{0} + \vec{a} + \vec{c}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{4} \), и уравнение становится \( \vec{a} + t\left(\frac{\vec{a} + \vec{c}}{4} — \vec{a}\right) = s \vec{c} \).
8. Упростим выражение: \( \vec{a} + t\left(\frac{\vec{a} + \vec{c} — 4\vec{a}}{4}\right) = s \vec{c} \), что равно \( \vec{a} + t \frac{-3\vec{a} + \vec{c}}{4} = s \vec{c} \).
9. Разделим по векторам \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \): по \( \vec{a} \) получаем \( 1 — \frac{3t}{4} = 0 \), значит \( t = \frac{4}{3} \); по \( \vec{c} \) получаем \( \frac{t}{4} = s \), значит \( s = \frac{1}{3} \).
10. Поскольку \( s = \frac{BK}{BC} \), то \( \frac{BK}{BC} = \frac{1}{3} \), значит \( \frac{BK}{KC} = \frac{1}{2} \).
