ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 4.14). Докажите, что прямые \( AA_1 \) и \( BC \) скрещивающиеся.

Прямые \( AA_1 \) и \( BC \) лежат в разных плоскостях: \( AA_1 \) — в плоскости, проходящей через ребра \( AA_1 \) и \( BB_1 \), а \( BC \) — в плоскости основания \( ABCD \). Они не параллельны и не пересекаются, значит, они скрещиваются.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). В нём ребро \( AA_1 \) соединяет точку \( A \) нижнего основания с точкой \( A_1 \) верхнего основания. Это ребро направлено вертикально и перпендикулярно плоскости основания \( ABCD \).

2. Ребро \( BC \) лежит в плоскости основания \( ABCD \). Оно соединяет точки \( B \) и \( C \), которые находятся в одной горизонтальной плоскости.

3. Плоскость, в которой лежит ребро \( AA_1 \), проходит через точки \( A, A_1, B, B_1 \). Эта плоскость перпендикулярна основанию и содержит ребра, параллельные \( AA_1 \).

4. Плоскость основания \( ABCD \) и плоскость \( ABB_1A_1 \), в которой лежит \( AA_1 \), пересекаются по прямой \( AB \).

5. Прямая \( AA_1 \) не лежит в плоскости основания, а прямая \( BC \) не лежит в плоскости \( ABB_1A_1 \).

6. Прямые \( AA_1 \) и \( BC \) не параллельны, так как первая вертикальна, а вторая горизонтальна.

7. Прямые \( AA_1 \) и \( BC \) не пересекаются, так как \( AA_1 \) проходит через точку \( A \), а \( BC \) — через точки \( B \) и \( C \), которые не лежат на \( AA_1 \).

8. Так как прямые не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

9. Следовательно, прямые \( AA_1 \) и \( BC \) скрещиваются.

10. Доказано, что в кубе ребра \( AA_1 \) и \( BC \) скрещиваются.