ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 4.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через точку, не лежащую на прямой \( a \), проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой \( a \). Докажите, что хотя бы одна из этих прямых и прямая \( a \) являются скрещивающимися.

Так как \( a \) не имеет общих точек с \( b \) и \( c \), то \( a \) и \( c \) задают плоскость. Значит, \( b \) не лежит в этой плоскости. Следовательно, \( a \) и \( b \) — скрещивающиеся прямые.

1. Пусть есть прямая \( a \) и точка \( P \), не лежащая на \( a \). Через точку \( P \) проведены две прямые \( b \) и \( c \), которые не пересекаются с прямой \( a \), то есть \( a \cap b = \emptyset \) и \( a \cap c = \emptyset \).

2. Рассмотрим прямую \( c \). Если прямая \( c \) лежит в той же плоскости, что и прямая \( a \), то так как они не пересекаются, они параллельны.

3. Прямая \( a \) и прямая \( c \), лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, задают плоскость \( \alpha \).

4. Теперь рассмотрим прямую \( b \), которая проходит через точку \( P \), не лежащую на \( a \).

5. Если прямая \( b \) лежала бы в плоскости \( \alpha \), то она должна была бы пересечь прямую \( a \), так как в плоскости через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная этой прямой.

6. Но по условию \( b \) не пересекается с \( a \), значит прямая \( b \) не лежит в плоскости \( \alpha \).

7. Следовательно, прямые \( a \) и \( b \) не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

8. Прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, называются скрещивающимися.

9. Значит, \( a \) и \( b \) — скрещивающиеся прямые.

10. Таким образом, если \( a \) и \( c \) не скрещиваются, то \( a \) и \( b \) скрещиваются. Значит, хотя бы одна из прямых \( b \) или \( c \) и прямая \( a \) являются скрещивающимися.