ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезки \( BC \) и \( AD \) — основания трапеции \( ABCD \). Треугольник \( BMC \) и трапеция \( ABCD \) не лежат в одной плоскости (рис. 5.15). Точка \( E \) — середина отрезка \( BM \), точка \( F \) — середина отрезка \( CM \). Докажите, что \( EF \parallel AD \).

Дано: \( ABCD \) — трапеция, \( E \) и \( F \) — середины \( BM \) и \( CM \).

1. \( EF \) — средняя линия треугольника \( BMC \), значит \( EF \parallel BC \).

2. В трапеции \( BC \parallel AD \).

3. По свойству параллельных прямых: \( EF \parallel BC \) и \( BC \parallel AD \) значит \( EF \parallel AD \).

В треугольнике \( BMC \) точки \( E \) и \( F \) выбраны так, что они являются серединами отрезков \( BM \) и \( CM \) соответственно. Это означает, что длина отрезка \( BE \) равна длине отрезка \( EM \), а длина отрезка \( CF \) равна длине отрезка \( FM \). По определению средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон, обладает важным свойством: он параллелен третьей стороне и равен половине её длины. Следовательно, отрезок \( EF \) параллелен стороне \( BC \) треугольника \( BMC \), и длина \( EF \) равна \( \frac{1}{2} BC \).

В трапеции \( ABCD \) основания \( BC \) и \( AD \) по условию параллельны, то есть \( BC \parallel AD \). Это ключевое свойство трапеции, которое используется для доказательства параллельности отрезков, связанных с её сторонами. Поскольку \( EF \parallel BC \) и \( BC \parallel AD \), из свойства параллельности прямых следует, что отрезок \( EF \) также параллелен отрезку \( AD \). Таким образом, мы можем утверждать, что \( EF \parallel AD \).

Данное доказательство опирается на классические свойства средней линии треугольника и определение трапеции. Благодаря тому, что \( E \) и \( F \) — середины сторон \( BM \) и \( CM \), мы можем применить теорему о средней линии, а затем, используя параллельность оснований трапеции, сделать вывод о параллельности \( EF \) и \( AD \). Это позволяет связать геометрические свойства треугольника и трапеции, несмотря на то, что треугольник \( BMC \) и трапеция \( ABCD \) не лежат в одной плоскости.