ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскость \( \alpha \), параллельная стороне \( AB \) треугольника \( ABC \), пересекает стороны \( AC \) и \( BC \) в точках \( E \) и \( F \) соответственно. Найдите отношение \( AE : EC \), если \( CF : CB = 3 : 11 \).

Так как \(EF \parallel AB\), то треугольники \(AEF\) и \(ABC\) подобны. Значит

\(\frac{AE}{AC} = \frac{CF}{CB} = \frac{3}{11}\).

Тогда

\(\frac{AE}{EC} = \frac{AE}{AC — AE} = \frac{\frac{3}{11}AC}{AC — \frac{3}{11}AC} = \frac{\frac{3}{11}AC}{\frac{8}{11}AC} = \frac{3}{8}\).

1. Дано, что плоскость \(\alpha\) параллельна стороне \(AB\) треугольника \(ABC\). Это значит, что отрезок \(EF\), лежащий в плоскости \(\alpha\), параллелен стороне \(AB\).

2. Плоскость \(\alpha\) пересекает стороны \(AC\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Значит, точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах треугольника.

3. По условию известно, что отношение отрезков \(CF : CB = \frac{3}{11}\).

4. Так как \(EF \parallel AB\), то по теореме о пропорциональных отрезках треугольники \(AEF\) и \(ABC\) подобны.

5. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны, то есть \(\frac{AE}{AC} = \frac{CF}{CB}\).

6. Подставляем известное значение: \(\frac{AE}{AC} = \frac{3}{11}\).

7. Обозначим длину отрезка \(AE\) как \(x\), тогда длина отрезка \(EC = AC — x\).

8. Из пропорции \(x = \frac{3}{11} AC\), значит \(EC = AC — \frac{3}{11} AC = \frac{8}{11} AC\).

9. Теперь найдём отношение \(AE : EC\), которое равно \(\frac{x}{EC} = \frac{\frac{3}{11} AC}{\frac{8}{11} AC}\).

10. Сокращая \(AC\) и знаменатель, получаем \(\frac{3}{8}\). Значит, \(AE : EC = \frac{3}{8}\).