ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 5.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершины \( A \) и \( C \) треугольника \( ABC \) принадлежат плоскости \( \alpha \), а вершина \( B \) не принадлежит этой плоскости. На сторонах \( AB \) и \( BC \) отмечены соответственно точки \( E \) и \( F \) так, что \( BA : BE = BC : BF \). Докажите, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).

1. В треугольниках \( \triangle EBF \) и \( \triangle ABC \) угол при вершине \( B \) общий.
2. По условию \( \frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF} \).
3. Значит, \( \triangle EBF \sim \triangle ABC \) по двум сторонам и углу между ними.
4. Из подобия следует, что \( EF \parallel AC \).
5. Так как \( AC \subset \alpha \), то \( EF \parallel \alpha \).

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle EBF \) и \( \triangle ABC \). У них общий угол при вершине \( B \), так как обе фигуры имеют одну и ту же точку \( B \) и стороны, выходящие из неё, образуют этот угол.

2. По условию задачи известно, что \( \frac{BA}{BE} = \frac{BC}{BF} \). Это значит, что стороны треугольников пропорциональны: сторона \( AB \) к \( EB \) равна стороне \( BC \) к \( BF \).

3. Из пункта 1 и 2 следует, что треугольники \( \triangle EBF \) и \( \triangle ABC \) подобны по признаку двух сторон и угла между ними, так как угол \( B \) общий, а отношения соответствующих сторон равны.

4. Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны параллельны. В частности, сторона \( EF \) треугольника \( \triangle EBF \) параллельна стороне \( AC \) треугольника \( \triangle ABC \).

5. Поскольку точки \( A \) и \( C \) лежат в плоскости \( \alpha \), то прямая \( AC \) принадлежит плоскости \( \alpha \).

6. Если прямая \( EF \) параллельна прямой \( AC \), которая лежит в плоскости \( \alpha \), то прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).

7. Таким образом, доказано, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).